f(x) = (x^2 + 4) / (2x) . Ein a berechnen mit (ƒ(2) - ƒ(1) ) / (2-1) = ƒ` (a) und zeichnen?

Question

Normalerweise ist dieser Funktion nach Nullstellen / Extrema zu untersuchen. 

Ein Teil von die Aufgabe, (das was ich eigentlich nicht verstehe), ist zu brechen ein a ∈ ]1,2[ ,  für das gilt:

(ƒ(2) - ƒ(1) ) / (2-1) = ƒ` (a). Dann muss ich (a) einzeichnen ( diese Situation in einem Graph darstellen).

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

f(x) = (x^2 + 4)/(2·x) = x/2 + 2/x

f(1) = 2.5

f(2) = 2

m = (f(2) - f(1)) / (2 - 1) = -1/2

f'(x) = 1/2 - 2/x^2 = -1/2 --> x = √2

f(√2) = 3/2·√2

t(x) = -1/2·(x - √2) + 3/2·√2 = 2·√2 - x/2

Skizze

~plot~ x/2 + 2/x;-1/2*(x-1)+2.5;2*sqrt(2) - x/2;{sqrt(2)|3/2*sqrt(2)};{1|2.5};{2|2};[[0|4|0|3]] ~plot~

Answer 2

Ein Teil von die Aufgabe, (das was ich eigentlich nicht
verstehe), ist zu brechen ein a ∈ ]1,2[ ,  für das gilt:

(ƒ(2) - ƒ(1) ) / (2-1) = ƒ` (a).

Dann muss ich (a) einzeichnen ( diese Situation in
einem Graph darstellen).

Die Aufgabenstellung in Worten :

Du hast eine Funktion f.
Dann hast du eine mittlere Steigung zwischen
den Stellen x = 1 bis x =2 für die nach dem
Steigungsdreieck gilt

(ƒ(2) - ƒ(1) ) / (2-1) = -0.5

Diese Steigung soll
-0.5 = f ´( a )
also  der Steigung an der Stelle x = a entsprechen

f ( x ) = ( x^2 + 4 ) / ( 2 * x )
f ´( x )  = 1 - ( x^2 + 4 ) / ( 2*x^2  )
1 - ( x^2 + 4 ) / ( 2*x^2  ) = -1/2
x = √ 2

Die Grafik siehst du mathecoach.

mfg Georg