Funktion mit Bestimmung der Definitionsmenge, Monotonieverhalten und Konvexität

Question

Aufgabe:

Gegeben ist diese Funktion:

\( f(x)=\frac{\sqrt{\left(x^{2}-9\right)}}{(x-3)} \)

Gefragt ist

a) der größtmögliche Definitionsbereich

b) für welche x aus R diese Funktion fallend bzw. monoton steigend ist ist ( inkl. mathematischen Beweis )

c) ....und ob diese Funktion für x>3 konvex ist ( inkl mathematischer Beweis )

Ich hab meinen Rechnenweg durchaus hier vor mir liegen , aber irgendwie stimmt einiges nicht ...denke ich zumindest ... Definitionsmengenergebnis ist bei mir \( D=]-\infty,-3] U] 3,+\infty[ \)

b) ...ich komme letztendlich auf

\( \frac{-3}{(x-3)\left(\sqrt{\left(x^{2}-9\right)}\right.} \)

verstehe allerdings mit diesem Ergebnis nicht was jetzt wie monoton steigend oder fallend ist und wie ich das beweise.

Und bei c ) komme ich auf etwas was mit den Mitschriften meiner Kollegen irgendwie nicht übereinstimmt .

Comments

f(x) = √(x^2 - 9) / ( x-3)

Dein Definitionsbereich ist schon mal ok. Kontrolle: 2. Skizze in:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=√%28x%5E2+-+9%29+%2F+%28+x-3%29

Answer 1

f(x) = √(x² - 9) / ( x-3)

Dein Definitionsbereich ist schon mal ok. Kontrolle: 2. Skizze (blauer Teil) in:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=√%28x%5E2+-+9%29+%2F+%28+x-3%29

Weiter unten: Deine Ableitung ist auch ok.

Nun zur Monotonie: Betrifft Vorzeichen der 1. Ableitung.

Der Wurzelterm ist ja auf keinen Fall negativ. - 3 ist immer negativ.

(x-3) ist negativ für x< 3 und positiv für x> 3.

Als Produkt/ Quotient gilt

f(x) = neg / neg = pos für x ≤ -3: also linker 'Ast' monoton steigend.

f(xI = neg / pos = neg für x > 3: also rechter 'Ast' monoton fallend.

Konvexität

Falls du bei der 2. Ableitung feststellen kannst, dass diese immer positiv ist, ist die Funktion im gesamten Definitionbereich konvex ( eine Linkskurve) . Vgl. hier unter dem Abschnitt Konvexität und 2. Ableitung. https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_und_konkave_Funktionen

f ''(x) = 3(2x + 3) / ((x-3)^2 * (x+3) (√(x^2-3)))

Quadrat und Wurzel sind, falls existent nicht negativ.

Falls x> 3: 2x + 3 > 0 und x+3 > 0. Daher f ''(x) > 0.

Falls x < -3: 2x + 3 < 0 und x+3 < 0. Daher f''(x) > 0

Falls x = -3: 2x + 3 = -3 < 0 und x+3 = 0.  Division durch 0. Kriterium nicht anwendbar. Das heisst aber eigentlich noch nichts.

Comments

Eine saubere Begründung, wie man mit x = -3 umzugehen hat, würde mich noch interessieren.

Das Einzige, was ich weiss (sehe) ist, dass die Kurve bei x = -3 aufhört und dort eine Steigung hat, die von links her betrachtet +unendlich annähert.

Eine Sekante oberhalb dieser Stelle müsste aber an 2 Stellen der Kurve befestigt sein, was ja nicht geht, wenn die Kurve einfach aufhört.

---

Hab hier nochmals die Lösung ... vielleicht kannst du ja bezüglich x=-3 etwas "herauslesen".

(a) \( D=\mid-\infty,-3] \cup] 3, \infty \mid \)

(b) \( f^{\prime}(x)=\frac{-3}{(x-3) \sqrt{x^{2}-9}} \), d.h. für \( x>3 \) monoton fallend, für \( x \leq-3 \) monoton steigend

(c) \( f^{\prime \prime}(x)=\frac{6 x^{2}-9 x-27}{\left(x^{2}-9\right) \cdot(x-3)^{2} \cdot \sqrt{x^{2}-9}}>0 \quad \forall x \in D \)

---

Besten Dank. Mit viel Fantasie vielleicht, aber auch nur, was ich schon beschrieben habe.
Bei x=-3 gilt für f''(x):  Oben: positive Zahl. Unten: 2 Faktoren 0 und einer positiv.