stetige Umkehrfunktion f zeigen und jeweils Definitionsbereich, Wertemenge und Monotonieverhalten von f?

Question

wie Löse ich diese Aufgabe?

Beweisen Sie von den folgenden Funktionen,dass diese tatsächlich eine stetige Umkehrfunktion f besitzen und bestimmen Sie jeweils Definitionsbereich, Wertemenge und Monotonieverhalten von f .

a.) \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( g(x)=3 x^{5}-10 x^{3}+15 x-1 \)
b.) \( g: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty) \) mit \( g(x)=\left(x^{2}-4 x+5\right) \cdot e^{x} \)

Answer 1

f1(x) = 3·x^5 - 10·x^3 + 15·x - 1

f1'(x) = 15·x^4 - 30·x^2 + 15 = 0 → 1 und -1 sind doppelte Nullstellen und damit Nullstellen ohne Vorzeichenwechsel und damit hast du eine streng monoton steigende Funktion

f2(x) = e^x·(x^2 - 4·x + 5)

f2'(x) = e^x·(x^2 - 2·x + 1) = 0 → 1 ist eine doppelte Nullstelle und damit Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. Damit ist die Funktion streng monoton steigend.

Answer 2

Zeige dass die Funktionen surjektiv, streng monoton und stetig sind. Wegen des Satzes über die Stetigkeit der Umkehrfunktion sind die Funktionen dann bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion mit gleichem Monotonieverhalten.