Wie löse ich dieses LGS?

Question

Guten Nachmittag,

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Aufgabe : Frau Ude hat für ein Hauskauf eine Hypothek aufgenommen.Am Ende des ersten Jahres zahlt sie 5000 Euro zurück sowie 3600 Euro Zinsen. Am Ende des zweiten Jahres zahlt sie nur noch 3555 Euro Zinsen. Berechne den anfangs geliehenen Geldbetrag (Kredithöhe) und den Zinssatz.

x = Geldbetrag    ;      y = Zinssatz

1 Gleichung: x+y = 3600

2 Gleichung: (x-5000)*y = 3555

Nun ist mein Problem das Auflösen. Könnt ihr mir bitte anhand des Rechenweges erklären wie das geht.

Answer 1

\(K_0\) sei das geliehene Kapital am Anfang und \(z\) der Zinssatz. Nach einem Jahr zahlt sie 3600€ Zinsen. Daraus folgt

$$K_0 \cdot z = 3600€$$

Am Ende des ersten Jahres zahlt sie 5000€ ab - demnach ist das Kapital am Anfang des nächsten Jahres \(K_1=K_0-5000€\). Am Ende des zweiten Jahres zahlt sie für dieses Kapital \(K_1\) 3550€ Zinsen. Also

$$K_1 \cdot z = (K_0 - 5000€)\cdot z= 3555€$$

zweite Gleichung ausklammern \(K_0\cdot z - 5000€\cdot z = 3555€\) und für das Produkt \(K_0 \cdot z\) den obigen Wert einsetzen ergibt

$$3600€ - 5000€\cdot z = 3555€ \quad \Rightarrow z=0,009=0,9\%$$

Aus \(K_0 \cdot z = 3600€\) folgt dann

$$K_0=3600€ : 0,009=400000€$$

Answer 2

Geliehenes Kapital K. Jahreszinssatz p. Dann ist (1) K·p/100= 3600und (2) (K-5000)·p/100= 3555. Löse (1) nach p auf und setze in (2) ein:

(1) p=360000/K und dann (2) (k-5000)3600/K=3555 oder 3600 - 18000000/K=3555 und dann 45K=18000000. Ergebnis K=400000. Dies in 1 eingesetzt ergibt p.