Zwei zur Ebene E parallele Ebenen aufstellen, die einen Abstand von 3 zum Ursprung haben.

Question

Da ich die Aufgabe selbst lösen möchte, gebe ich hier mal andere Werte an,als in meiner Hausaufgabe. 
Es gibt eine Ebene E die lautet: x1+2x2+3x3=27
Zu dieser Ebene gibt es zwei Ebenen, die parallel zu e liegen und den Abstand 3 vom Ursprung haben. 
Mein vorgehen: - parallel zu e bedeutet, dass die Normalenvektoren bei den zwei neuen Ebenen Vielfache von dem Normalenvektor von E sind (oder identisch)-ich brauche zwei Punkte,  die nicht auf E liegen. Das kriege ich hin.
-wie baue ich den Abstand 3 ein?

Answer 1

Nimm den Normalenvektor der gegebenen Ebene  n= (1 ; 2; 3) und bestimme seine Länge √(1² + 2² +3² ) =√14  .

Und wenn du den auf die Länge 3 bringst, dann musst du ihn mit 3/√14  multiplizieren und hast

n1 =  (  3/√14   ;  6/√14    ;  9/√14   ).

Und wenn du den (oder sein Negatives) im 0-Punkt anhängst, bekommst du je einen Punkt,

der genau 3 vom Nullpunkt entfernt ist.  Und diese beiden Punkte, sind die, durch die du deine

beiden gesuchten Ebenen legen muss,  denn diese Ebenen haben dann eben je den Abstand 3

vom Nullpunkt.

sieht ( von der Seite gesehen) so aus :

Answer 2

Mit Hessesche Normalform HNF

Alle parallelen Ebene haben die Gleichung

x1+2x2+3x3= c

Also

E_c: x + 2y + 3z  = c

HNF von E bestimmen: √(1^2 + 2^2 + 3^2) = √(14)

E: (x + 2y + 3z)/√14 = c/√(14) = d       (d neue Variable)

Hier kann man nun bei d den gewünschten Abstand vom Ursprung einsetzen.

 E_±3:   (x + 2y + 3z)/√14 = ± 3 

Plus und Minus für die beiden Seiten vom Ursprung.