Einen Kreis um (-2|3) mit dem Radius \(r\) kann man mit der Gleichung
$$(x+2)^2+(y-3)^2=r^2$$
beschreiben. Bringe dies mit der Gerade zum Schnitt, indem Du die Gleichung der Geraden zunächst nach \(y\) (oder nach \(x\) wäre auch gegangen) auflöst
$$y=\frac{4}{3}x + 14$$
und dies dann in die Kreisgleichung einsetzt
$$(x+2)^2+(\frac{4}{3}x + 14-3)^2=r^2$$
Umformen ergibt die quadratische Gleichung
$$\frac{25}{9}x^2 + \frac{100}{3}x +125 - r^2=0$$
$$x^2 + 12x +45 - \frac{9}{25}r^2=0$$
Es liegt genau dann eine Berührung vor, wenn die Diskriminante zu 0 wird. Also
$$\sqrt{6^2- 45 + \frac{9}{25}r^2 }=0 \quad \Rightarrow r=5$$
Die Kreisgleichung ist also \((x+2)^2+(y-3)^2=25\).
Nun - das war die analytische Lösung. Im Hinweis steht: "Berührt der Kreis die Gerade g im Punkt P, dann ist MP normal zu g". Das lässt vermuten, dass eine vektorielle Lösung gesucht ist. \(\vec{M}\) sei der Ortsvektor zum Mittelpunkt M und \(\vec{P}\) der zum Berührpunkt P. Die Geradengleichung lässt sich schreiben als
$$g: \space \vec{x}=\begin{pmatrix}0 \\ 14\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}$$
Mit \(\vec{x}(t_P)=\vec{P}\). Wenn MP normal zum Richtungsvektor der Geraden steht, so muss ihr Skalarprodukt =0 sein. Man kann schreiben
$$(\vec{P} - \vec{M}) \cdot \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}=0$$
$$\left( \begin{pmatrix}0 \\ 14\end{pmatrix} + t_P \cdot \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2\\3 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}=0 \quad \Rightarrow t_P=-2$$
bzw. \(\vec{P}=\vec{x}(-2)=(-6|6)\) dann ist \(\vec{MP}=(-4|3)\) und der Radius \(|\vec{MP}|=5\).
Gruß Werner
