Ermittle eine Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M, der die Gerade g berührt

Question

 Mathe sa Nummer b)  

Kann mir bitte jmnd helfen :)

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L Nr b) bitte hilfeee :((( 

Hab morgen m test

Lösung : (x-2)²+(y-3)²=25

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Wen interessiert das? Besuche lieber einen Fotografie-Kurs und lerne, sinnvolle Bildausschnitte zu wählen!

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Du hast vor zwei Tagen die gleiche Frage gestellt und immerhin drei Antworten bekommen. Wo ist das Problem?

Answer 1

Einen Kreis um (-2|3) mit dem Radius $r$ kann man mit der Gleichung

$$(x+2)^2+(y-3)^2=r^2$$

beschreiben. Bringe dies mit der Gerade zum Schnitt, indem Du die Gleichung der Geraden zunächst nach $y$ (oder nach $x$ wäre auch gegangen) auflöst

$$y=\frac{4}{3}x + 14$$

und dies dann in die Kreisgleichung einsetzt

$$(x+2)^2+(\frac{4}{3}x + 14-3)^2=r^2$$

Umformen ergibt die quadratische Gleichung

$$\frac{25}{9}x^2 + \frac{100}{3}x +125 - r^2=0$$

$$x^2 + 12x +45 - \frac{9}{25}r^2=0$$

Es liegt genau dann eine Berührung vor, wenn die Diskriminante zu 0 wird. Also

$$\sqrt{6^2- 45 + \frac{9}{25}r^2 }=0 \quad \Rightarrow r=5$$

Die Kreisgleichung ist also $(x+2)^2+(y-3)^2=25$.

Nun - das war die analytische Lösung. Im Hinweis steht: "Berührt der Kreis die Gerade g im Punkt P, dann ist MP normal zu g". Das lässt vermuten, dass eine vektorielle Lösung gesucht ist. $\vec{M}$ sei der Ortsvektor zum Mittelpunkt M und $\vec{P}$ der zum Berührpunkt P. Die Geradengleichung lässt sich schreiben als

$$g: \space \vec{x}=\begin{pmatrix}0 \\ 14\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}$$

Mit $\vec{x}(t_P)=\vec{P}$. Wenn MP normal zum Richtungsvektor der Geraden steht, so muss ihr Skalarprodukt =0 sein. Man kann schreiben

$$(\vec{P} - \vec{M}) \cdot \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}=0$$

$$\left( \begin{pmatrix}0 \\ 14\end{pmatrix} + t_P \cdot \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2\\3 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}=0 \quad \Rightarrow t_P=-2$$

bzw. $\vec{P}=\vec{x}(-2)=(-6|6)$ dann ist $\vec{MP}=(-4|3)$ und der Radius $|\vec{MP}|=5$.

Gruß Werner

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.. und weil's so schön ist, noch 'ne Lösung. Die Geradengleichung $-4x+3y=42$ kann man auch in der Normalenform schreiben

$$\begin{pmatrix} -4\\ 3\end{pmatrix} \vec{x}=42$$

das bringe ich in die Hessesche Normalform, indem der Vektor normiert wird.

$$\frac{1}{5} \begin{pmatrix} -4\\ 3\end{pmatrix}\vec{x}-\frac{42}{5}=0$$

und jetzt nur noch den Mittelpunkt einsetzen

$$\frac{1}{5} \begin{pmatrix} -4\\ 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2\\ 3\end{pmatrix}-\frac{42}{5}=\frac{17}{5}-\frac{42}{5}=-5$$

und dies ist der Abstand von M zu g - also der Betrag (=5) ist der gesuchte Radius.

Gruß Werner

Answer 2

Gleichung des Kreises ist (x+2)² + (y-3)² = r². Das ist Pythagoras und Koordinatentransformation.

r ist der Abstand des Punktes M zu Geraden g.

Answer 3

Hier eine Skizze und meine Berechnungen

Jetzt hast du A und M.
Rechne
r² = dx² + dy²
r = 5

Kreisgleichung
r² = ( x + 2 )² + ( y - 3 )²

nach y umstellen

mfg Georg

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Hier noch ein Graph