Oberflächenintegral eines Zylinders berechnen

Question

Die Kurve eines Zylinders in parameterschreibweise wäre:  (rcosu1, rsinu1, u2)

so der radius sei größer null und die höhe h. 

Das oberflächenintegral wäre ja, das integral aus dem Betrag des Kreuzproduktes der partiellen Ableitung, nach du1 und du2.

Wenn ich das mache bekomme ich 2pirh als Ergebnis, aber das wäre doch nur die Fläche des Mantels und nicht die gesamte Oberfläche des Zylinders wo ist mein Fehler :/

Answer 1

die gegebene Parameterdarstellung beschreibt nur den Mantel des Zylinders.

Deshalb kommst du auch nur auf die Mantelfläche, was richtig ist.

Die Grund- und Deckfläche muss man extra parametrisieren.

Comments

warum parametisiert sie nur den Mantel ?

hätte ich nur die x und y Koordinate hätte ich doch nur die Kreisfläche? wie würde denn die parametisierung von mantel inklusive Grundflächen aussehen

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Bei der gegebenen Parametrisierung ist der Radius konstant (man schreibt daher lieber R anstatt r), deshalb bleibt das innere des Zylinders leer. Man schichtet sozusagen nur Kreisringe übereinander, es entsteht ein Zylindermantel.

Die Grund und Deckfläche stellen Kreisscheiben dar, die parametrisiert man so:

Grundfläche

x^→ = (r*COS(φ),r*sin(φ),0)

Deckfläche:

x^→ = (r*COS(φ),r*sin(φ),h)

wobei ein beiden Fällen

r∈[0,R] (nicht konstant)

φ∈[0,2π]

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Ah Danke für die schöne vorstellbare Erklärung!

Das heißt der Einzige unterschied zwischen zb. Mantel und Deckfläche wäre doch nur das ich beim mantel nach phi und höhe integriere und bei der deckflache nach radius und phi.

Weil in dem einen fall der radius konstant ist und in dem anderen fall die "höhe".

Wow danke !!!!!!!!!!!!  Mega erklärt