Gleichung der Kreises ermitteln durch Punkte A, B und C

Question

Aufgabe Streckensymmetrie:

Ermittle eine Gleichung jenes Kreises, auf dem die Punkte A, B und C liegen.

Berechne die Schnittpunkte dieses Kreises mit den Koordinatenachsen.

a) \( A=(-2|4), B=(13|-9), C=(9|7) \)

b) \( A=(-6|4), B=(2 |-2), C=(-4 | 10) \)

Hinweis: Streckensymmetralen!

Ich brauche Hilfe zur Nummer b) Kreisgleichung.

Comments

In der Skizze kannst du eigentlich direkt konstruieren:

~draw~ polygon(-6|4 2|-2 -4|10);punkt(-6|4 "A");punkt(2|-2 "B");punkt(-2|1 "MAB");gerade(-2|1 4|9);punkt(-4|10 "C");punkt(-5|7 "MAC");gerade(-5|7 -2|6);punkt(-1|4 "MBC");gerade(-1|4 1|5);kreis(1|5 7){00F}#;punkt(1|5 "M");zoom(13) ~draw~

Nun noch die Rechnung mit den Geradengleichungen usw. aufschreiben.

Answer 1

( -6 | 4 )
( 2 | -2 )
( -4 | 10 )

allgemeine Kreisgleichung

r^2 = ( x - xm )^2 + ( y - ym )^2

r^2 = ( -6 - xm )^2 + ( 4 - ym )^2
r^2 = ( 2 - xm )^2 + (-2 - ym  )^2
r^2 = ( -4 -xm )^2 + (  10 - ym )^2

( -6 - xm )^2 + ( 4 - ym )^2 = ( 2 - xm )^2 + (-2 - ym  )^2
( 2 - xm )^2 + (-2 - ym  )^2 = ( -4 -xm )^2 + (  10 - ym )^2

Matheprogramm

xm = 1
ym = 5

r^2 = ( x - 1  )^2 + ( y  - 5 )^2
( -6 | 4 )
r^2 = ( -6 - 1  )^2 + ( 4  - 5 )^2

r = 5 * √ 2

( 5 * √ 2 )^2=  ( x -1 )^2 + ( y - 5 )^2

Alle 3 Punkte liegen auf diesem Kreis.

Solltet ihr die Aufgabe ohne GRT oder CAS lösen ?

Schnittpunkte mit der x-Achse.
y = 0 einsetzen

Schnittpunkte mit der y-Achse.
x = 0 einsetzen

mfg Georg

Answer 2

Du brauchst weder einen GTR noch ein CAS.

Alle drei Punkte in die allg. Kreisgleichung \( (x-x_M)^2+(y-y_M)^2 = r^2 \) einsetzen:

$$ (-6-x_M)^2+(4-y_M)^2 = r^2 $$

$$ (2-x_M)^2+(-2-y_M)^2 = r^2 $$

$$ (-4-x_M)^2+(10-y_M)^2 = r^2 $$

Ergibt:

$$ -12x_M+8y_M+(r^2-x_M^2-y_M^2) = 52 $$

$$ 4x_M-4y_M+(r^2-x_M^2-y_M^2) = 8 $$

$$ -8x_M+20y_M+(r^2-x_M^2-y_M^2) = 116 $$

Substitution \( K = (r^2-x_M^2-y_M^2) \) ergibt das LGS:

$$ -12x_M+8y_M+K = 52 $$

$$ 4x_M-4y_M+K = 8 $$

$$ -8x_M+20y_M+K = 116 $$

Damit:

\( x_M = 1 \), \( y_M = 5 \) und \( K = 24 \)

und damit:

\( r = \sqrt{50} \).

Und damit dann:

$$ (x-1)^2+(y-5)^2 = 50 $$

Schnittpunkte mit den Achsen bekommst Du für \( x = 0 \) bzw. \( y = 0 \).

Grüße,

M.B.

Answer 3

Man könnte natürlich auch den Hinweis beachten und so vorgehen:

Berechne den Mittelpukt M_AB der Strecke AB und die Steigung m_AB der Strecke AB.

Bestimme die Gleichung der Mittelsenkrechten g von AB mit der Steigung -1/ m_AB und dem Punkt M_AB.

Wiederhole eine derartige Rechnung für die Mittelsenkrechte h von BC.

Der Schnittpunkt S (x_m;y_m) von g und h ist der Mittelpukt des Kreises. Die Länge der Strecke SA ist der Radius r des Kreises.

Nun Radius r und Mittelpunkt (x_m;y_m) in r² = ( x - x_m )² + ( y - y_m )² einsetzen.

Schnittpunkte mit der x-Achse erhält man für y = 0.

Schnittpunkte mit der y-Achse erhält man für x = 0

Comments

Hallo Roland,
da ich ja auch noch am Lernen bin.

Kurzform des Lösungswegs :
Die 3 Punkte zum Dreieck verbinden.
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
zweier beliebiger Seiten ist der Mittelpunkt
des Kreises.

Hoffentlich behalte ich das bis zur nächsten
gestellten Frage.

mfg Georg

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Mit Besichtigung der Zeichnung ist das vielleicht noch besser zu merken:

~draw~ dreieck(-6|4 2|-2 -4|10);gerade(-2|1 1|5);gerade(-5|7 1|5);kreis(1|5 7.07);zoom(12) ~draw~