Vierecke in Abhängigkeit von einem Parameter

Question

Gegeben sind vier Punkte in Abhängigkeit von deinem Parameter x:

A_x((x²+x)/(x²+1);(x²-x)/(x²+1))

B_x((x²-x)/(x²+1);(1-x)/(x²+1))

C_x((1-x)/(x²+1);(1+x)/(x²+1))

D_x((1+x)/(x²+1);(x²+x)/(x²+1)).

Welcher Art ist ein Viereck A_xB_xC_xD_x?

Comments

Ein harter Brocken.  Ich würde an deiner Stelle zunächste mal Geogebra verwenden, das ist kostenlos.  Damit zeichnest du das Viereck und verwendest für x einen Schieberegler.  So kannst du am Bildschirm sehen, welchen Einfluss x auf das Viereck hat.

Der gemeinsame Quotient x^2 + 1 sorgt schon mal für eine zentrische Streckung.

Was noch auffällt, ist, dass die x-Koordinate des einen Punktes immer die y-Koordinate des nächsten ist.

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Der Hinweis auf den Einsatz eines digitalen Werkzeuges (z.B. Geogebra) ist der Schlüssel zur Lösung. Die Sache mit der zentrischen Streckung stimmt leider nicht.

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Tipp:

es ist |AB|=1

Überprüfe die anderen Abstände ebenfalls.

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Vom Duplikat:

Titel: Beispielaufgabe für sinnvollen CAS-Einsatz

Stichworte: cas-einsatz

Gegeben sind vier Funktionen f₁, f₂, f₃, f₄ mit den Gleichungen

$$ f_1(x) = \frac{x^2+x}{x^2+1} \\ f_2(x) = \frac{x^2-x}{x^2+1} \\ f_3(x) = \frac{1-x}{x^2+1} \\ f_4(x) = \frac{1+x}{x^2+1} $$

Für eine reelle Zahl a werden die Punkte A_a(f₁(a);f₂(a)), B_a(f₂(a);f₃(a)), C_a(f₃(a);f₄(a)), D_a(f₄(a);f₁(a)) gebildet.

Welche Besonderheiten haben alle Vierecke A_aB_aC_aD_a? Stellen Sie Hypothesen auf und beweisen Sie diese.   

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Vom Duplikat:

Titel: Zeige: Die Vierecke ABCD sind für alle x kongruent.

Stichworte: kongruenz,viereck

Gegeben sind 4 Punkte A(\( \frac{x^2+x}{x^2+1} \)|\( \frac{x^2-x}{x^2+1} \)), B(\( \frac{x^2-x}{x^2+1} \)|\( \frac{1-x}{x^2+1} \)), C(\( \frac{1-x}{x^2+1} \)|\( \frac{1+x}{x^2+1} \)), D(\( \frac{1+x}{x^2+1} \)|\( \frac{x^2+x}{x^2+1} \)). Zeige: Die Vierecke ABCD sind für alle x kongruent.

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War das mit dem Duplikat Absicht?

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Nein, ich vergesse manchmal, was ich schon geposted habe.

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Ok. Dann habe ich nicht vorschnell umgeleitet.

Answer 1

Mit GeoGebra:  Die vier Punkte liegen auf einem Kreis mit Mittelpunkt 0,5/0,5.  Sie sind im Quadrat angeordnet und rotieren bei sich änderndem x um diesen Punkt.

Comments

Das ist richtig. Es fehlt leider der Hinweis auf Einheitsquadrate. Dann hätte ich "beste Antwort" geklickt.

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:-)

Ich hätte gerne ein smiley geschickt, aber mathelounge verlangt 12 Zeichen.

Answer 2

... es ist immer ein Quadrat der Seitenlänge 1 mit einem Mittelpunkt bei \(M=\begin{pmatrix} 0,5\\ 0,5\end{pmatrix}\). Und wozu brauche ich dazu ein CAS?

Comments

Alles klar: Du, Werner brauchst für die Lösung kein CAS. Für die meisten Schülerinnen und Schüler gilt das aber nach meiner Überzeugung nicht.

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Wahrscheinlich hat Werner gespickt:

https://www.mathelounge.de/427483/vierecke-in-abhangigkeit-von-einem-parameter

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Wahrscheinlich hat Werner gespickt:

... nein, hat er nicht!