Quadratische Ungleichung, Lösungsintervall

Question

Folgende einfache Ungleichung:

x²+8x+15<0

Faktorisieren ergibt ja:

(x+3)(x+5)<0

Jetzt hätte ich gesagt, die Lösung lautet:

x<-3 und x<-5, also Lösungsmenge: L={x|x<-5}, da ja -5 kleiner als -3 ist.

Laut Wolfram Alpha lautet die Lösung aber (-5;-3) respektive -5<x<-3.

Das verstehe ich nicht. Warum ist die Lösung das Intervall zwischen -5 und -3?

Warum wird das eine Ungleichheitszeichen (x+5<0) gedreht?

Answer 1

Das Produkt (x+3)(x+5) ist genau dann negativ (<0), wenn genau einer der Faktoren negativ ist.

Für x<-5 werden zwei negative Zahlen multipliziert. Das Ergebnis ist also positiv.

Für -5<x<-3 ist nur der erste Faktor negativ. Das Produkt ist somit negativ.

Für x>-3 sind beide Faktoren positiv, weswegen auch ihr Produkt positiv ist.

Gruß

Answer 2

( x+3) (x+5) < 0

1.Fall
+ mal - ergibt minus
x + 3 > 0 und x + 5 < 0
x > -3 und x < - 5
keine Schnittmenge

2.Fall
- mal + ergibt minus
x + 3 < 0 und x + 5 > 0
x < -3 und x > - 5

-5 < x < - 3

mfg Georg

Comments

Viele  Dank für all die Antworten, da war ich wohl auf dem falschen Dampfer mit der Deutung des Ergebnisses...

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Alles unterhalb der x-Achse gehört zur Lösungsmenge

Ungleichungen können bei der Lösung leicht
in Verwirrungen stürzen.
Da hilft nur üben, üben, üben.
Stelle einfach weitere Aufgaben hier ein.

Answer 3

Hi,

Du sollst mit (x+3)(x+5)<0 nichts anderes finden, als wann die linke Seite denn negativ ist. Das ist doch genau dann der Fall, wenn entweder der linke oder der rechte Faktor negativ ist, aber nicht beide.

Richtig erkannt hast Du schon die Grenzen auf die es ankommt. Also x = -5 und x = -3. Welches Intervall...das innerhalb oder die außerhalb, des Rätsels Lösung sind, hängt davon ab, was die Punktprobe aussagt. Zumindest ich würde diese Methode wählen.

Nimm x = -4

(-4+3)(-4+5) < 0

-1*1 < 0

-1 < 0

Das ist also eine wahre Aussage, folglich ist das Zwischenintervall gesucht, wie von wolfi bestätigt ;).

Grüße

Answer 4

(x+3)(x+5)<0. Die Begrenzungslinien der Lösungsmenge sind x=-3 und x=-5. Damit wird die Zahlengerade in drei Bereiche eingeteilt. Mache für jeden Bereich eine Probe für ein mögliches Lösungselement. Der Bereich, in dem eine Probe gelingt, stellt die Lösungsmenge dar.

Comments

> Der Bereich, in dem eine Probe gelingt, stellt die Lösungsmenge dar. 

Das stimmt nur, wenn der linke Term - wie hier - eine nach oben geöffnete Parabel darstellt,

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Sind  die Grenzen der Lösungsmenge geklärt, genügt eine Punktprobe, oder?

Answer 5

x²+8x+15 < 0  ⇔  (x+3) (x+5) < 0

 links steht der Funktionsterm einer nach oben geöffneten Parabel. Seine Werte sind also zwischen den Nullstellen x₁ = - 5 und x₂ = -3 negativ (<0), weil der Graph der Parabel dort unter der x-Achse verläuft.
   L = ] -5 ; -3 [  
Gruß Wolfgang