Quadratische Ungleichung lösen und Lösungsmenge bestimmen: (x-3)^2/(x-2) - 4/(x-2)< 0

Question

Aufgabe:

Quadratische Ungleichung lösen und Lösungsmenge bestimmen:

\( \frac{(x-3)^{2}}{x-2}-\frac{4}{x-2} < 0 \)

Ansatz/Problem:

Das Prinzip mit den Fallunterscheidungen ist mir bekannt, nur das Quadrat irritiert mich.

Answer 1

(x-3)^2/(x-2) - 4/(x-2)< 0        |Brüche subtrahieren

((x-3)^2 - 4)/(x-2)< 0             | oben 3. binomische Formel

((x-3)+2)((x-3)-2)/(x-2) < 0

(x-1)(x-5)/(x-2) < 0

Kritische Stellen (Stellen mit Vorzeichenwechsel) sind x1 = 1, x2 = 2 und x3= 5.

Für sehr grosse x ist f(x) = (x-1)(x-5)/(x-2) grösser als 0.

Daher verläuft f(x) im Intervall ]2,5[ und auch im Intervall ]-unendlich,1[ unterhalb der x-Achse.

L = { x | -unendlich < x< 1 oder 2<x<5}