Question

Herausfinden der Lösungsmenge durch Fallunterscheidung |x-1| >= |x+2|

Answer 1

Hi, beschrieben werden alle Zahlen \(x\), die von \(1\) mindestens soweit entfernt sind wie von \(-2\).

Comments

Das bedeutet, dass es genau zwei Fälle gibt: Die Zahlen rechts von \((-2+1):2\), das ist die Mitte der beiden Zahlen, und die anderen. Die letzteren bilden die Lösungsmenge.

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Nach über acht Jahren hätte ich beinahe diese Frage noch einmal beantwortet...

Answer 2

|x-1|>=|x+2|

Fallunterscheidung:

i) x<-2

-(x-1)>=-(x+2)

-x+1>=-x-2

1>=-2 wahre Aussage

ii) 1>=x>=-2

-(x-1)>=x+2

-x+1>=x+2

-2x>=1

x<=-1/2

iii) x>1

x-1>=x+2

-1>=+2

keine Lösung

Gesamtlösung:

x<=-1/2

Answer 3

Hi,

Du kannst die Fälle

$$ (1) \quad x-1 \ge 0 \wedge x+2 \ge 0 $$

$$ (2) \quad x-1 \ge 0 \wedge x+2 \lt 0 $$

$$ (3) \quad x-1 \lt 0 \wedge x+2 \ge 0 $$

$$ (4) \quad x-1 \lt 0 \wedge x+2 \lt 0 $$

unterscheiden.

Fall (1) hat die leere Menge als Lösung wegen \( x-1 \ge x+2 \) also \( 3 \le 0 \)

Fall (2) ebenso wegen \(  x-1 \ge -x-2 \) also \( x\ge1 \wedge x\lt -2 \wedge x \ge -\frac{1}{2}  \)

Fall (3) ergibt \( 1-x \ge x+2 \) mit der Lösungsmenge \( -2 \le x \le -\frac{1}{2} \)

Fall (4) hat die Lösungsmenge \( x \lt -2 \) wegen \( 1-x \ge -x-2 \)  also \( 3 \ge 0  \)

Also ergibt sich insgesamt \( L = \{ x \le -\frac{1}{2} \} \)

Comments

Wieso genau dreht sich das größer/gleich zeichen im (2) Fall um?

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Hi,

wenn \( x - 1 \ge 0 \) folgt \( |x-1| = x-1 \) und wenn \( x+2 < 0 \) folgt \( |x+2| = -x-2  \) also gilt für

\( |x-1| \ge |x+2| \) dass dies zu \( x-1 \ge -x-2 \) äquivalent gilt. Also \( 2x \ge -1  \)

Hatte im Fall (2) noch Fehler die ich korrigiert habe.

Answer 4

\(|x-1|≥ |x+2|\)

Lösungsweg ohne Fallunterscheidung:

\(\sqrt{(x-1)^2}≥ \sqrt{(x+2)^2} |^{2}\)

\((x-1)^2≥ (x+2)^2\)

\(x^2-2x+1≥ x^2+4x+4\)

\(-6x≥3|\cdot(-1)\)

\(6x≤-3\)

\(x≤-\frac{1}{2}\)

\((-∞,-\frac{1}{2}]\)

Probe, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist:

\(x=- \frac{1}{2} \)

\(|- \frac{1}{2}-1|≥ |- \frac{1}{2}+2|\)

\(|- 1,5|= |1,5|\)✓

\(x=- 1 \)

\(|-1-1|≥ |-1+2|\)

\(|-2|≥ |1|\)✓

Comments

Darf ich dich an einen deiner letzten Beiträge (aus der beliebten Sendereihe "Antworten, die die Welt nicht braucht") erinnern?

Da hast du noch geschrieben:

Probe, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist:

Wie entscheidest du konkret, in welchen deiner Beiträge eine solche Probe notwendig  ist und in welchen nicht?