Bestimmen Sie die Lösungsmengen der Ungleichung

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichung:

\( \frac{x^2-1}{13x-43} \) ≥ 1 , x ≠ \( \frac{43}{13} \)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen. Wir hatten bisher keine Ungleichungen mit Brüchen und einer Quadratzahl.

Answer 1

Du musst mit dem Nenner multiplizieren

(geht, weil der nicht 0 ist) und dabei die

Fälle:  Nenner positiv und Nenner negativ unterscheiden,

weil dann das Vergleichszeichen bleibt oder umgedreht wird.

z.B :  1. Fall \( x \gt \frac{43}{13} \)

Dann gibt es \( x^2-1    \ge 13x-43 \)

<=>   \( x^2-13x +42    \ge 0 \)

<=>  \( (x-6)(x-7)   \ge 0 \)

<=>  \( x-6   \ge 0   \text{ und }  x-7  \ge 0 \)   
  oder \( x-6  \le 0  \text{ und }  x-7  \le 0 \)

<=>   \(   x-7  \ge 0 \)   oder \( x-6  \le 0   \)

<=>  \(  x \ge 7 \)  oder \( x \le 6  \)

Jetzt noch die Fallannahme berücksichtigen

\( \frac{43}{13} \)≈3,3 also gibt es

\(  x \ge 7 \)  oder( \( x \gt \frac{43}{13}  \text{ und }  x \le 6)  \)

Also für den ersten Teil x>7 oder x∈] 43/13 ; 6]

Im 2. Fall gibt es nach meiner Rechnung (bitte

nachvollziehen) keine Lösungen. Also bleibt

als Lösungsmenge die vom 1. Fall.

Comments

Also ist die Lösungsmenge vom 1. Fall so?:

L1 = {x∈ℝΙx > 43/13} ∩ {x∈ℝΙ x ≤ 6 ∪ x ≥ 7}

     = ] 43/13, 6] ∪ [7,∞[

??

und beim 2. Fall, kommt da nicht dann x≥7 und x≥6 raus mit x< 43/13.

?