Bestimmen Sie die Lösungsmengen der Ungleichung

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichung:

$\frac{x^2-1}{13x-43}$ ≥ 1 , x ≠ $\frac{43}{13}$

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen. Wir hatten bisher keine Ungleichungen mit Brüchen und einer Quadratzahl.

Answer 1

Du musst mit dem Nenner multiplizieren

(geht, weil der nicht 0 ist) und dabei die

Fälle:  Nenner positiv und Nenner negativ unterscheiden,

weil dann das Vergleichszeichen bleibt oder umgedreht wird.

z.B :  1. Fall $x \gt \frac{43}{13}$

Dann gibt es $x^2-1 \ge 13x-43$

<=>   $x^2-13x +42 \ge 0$

<=>  $(x-6)(x-7) \ge 0$

<=>  $x-6 \ge 0 \text{ und } x-7 \ge 0$   
  oder $x-6 \le 0 \text{ und } x-7 \le 0$

<=>   $x-7 \ge 0$   oder $x-6 \le 0$

<=>  $x \ge 7$  oder $x \le 6$

Jetzt noch die Fallannahme berücksichtigen

$\frac{43}{13}$≈3,3 also gibt es

$x \ge 7$  oder( $x \gt \frac{43}{13} \text{ und } x \le 6)$

Also für den ersten Teil x>7 oder x∈] 43/13 ; 6]

Im 2. Fall gibt es nach meiner Rechnung (bitte

nachvollziehen) keine Lösungen. Also bleibt

als Lösungsmenge die vom 1. Fall.

Comments

Also ist die Lösungsmenge vom 1. Fall so?:

L1 = {x∈ℝΙx > 43/13} ∩ {x∈ℝΙ x ≤ 6 ∪ x ≥ 7}

     = ] 43/13, 6] ∪ [7,∞[

??

und beim 2. Fall, kommt da nicht dann x≥7 und x≥6 raus mit x< 43/13.

?