differenzierbarkeit mehrdimensionale funktionen

Question

ich soll zeigen das f(x,y)= (x² * y)/(x² +y² ) in (0,0) nicht differenzierbar ist. Mache ich das  mit dem differentialquotienten oder wie geht das am besten?

lg

Comments

Nicht mathematisch korrekt, aber anschaulich:  Man veranschaulicht das Problem durch z = f(x, y) im dreidimensionalen Raum.  x nach vorne, y nach rechts, z nach oben.  Wenn ich y = 0 setze, dann ist z(x, y) = 0.  Wenn ich x = 0 setze, dann ist z(x, y) = 0.  Wenn ich x = y setze, dann ist z(x, y) = x/2.  In den Fällen 1 und 2 ist die Ableitung entlang dieser Linien 0, im Fall 3 nicht.  Also ist f nicht differenzierbar in (0, 0).

Sorry, mit dieser Einschätzung liege ich leider völlig falsch.  Hoffentlich weiß es jemand besser.  Bin selber gespannt auf das Ergebnis.

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Mit meiner obigen Argumentation wäre ja z = x auch nicht differenzierbar in (0, 0).  Ob wohl die Funktion aus der Frage wirklich nicht diff’bar ist? …

Answer 1

Differenzenquotient ist bei Ableitungsfragen nie voellig daneben. Rechne z.B. damit die Richtungsableitung im Nullpunkt in Richtung \(e=(e_1,e_2)\) (mit \(|e|=1\)) aus. Man erhaelt \(\partial_e f(0,0)=e_1^2e_2\). Wenn \(f\) im Nullpunkt differenzierbar waere, muesste \(\partial_e f(0,0)\) aber linear von \(e\) abhaengen, denn dann haette man \(\partial_e f(0,0)=\nabla f(0,0)\cdot e\).

Answer 2

Steht da denn nicht in (0,0)= 0 oder irgendwas?

wenn es da steht, dann könntest du einen trick verwenden, setze für x^p=(1/n)^p und y^l= (1/n)^p in den partiellen Ableitungen ein, dann lässt du n gegen unendlich gehen und siehßt, dass die Ableitungen nicht gegen null gehen.

Falls kein Wert für f'(0,0) gegeben ist musst due erstmal die zwei differenzquotienten nach y und x bilden. Und dann gucken ob die partiellen Ableitungen ( mit meiner Methode oben) gegen diese werte streben 

Comments

Hallo Oroshimaru und Fakename, was ist die Bedingung für „f(x, y) ist differenzierbar in (0, 0)“ ?  Muss dafür gelten, dass
$$\frac { \partial f(x,y) }{ \partial x } \quad =\quad \frac { \partial f(x,y) }{ \partial y }$$
an der Stelle (0, 0) ist?