Mehrdimensionale Funktionen wo diffbar

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(a) \( u(x, y)=x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \)

Untersuchen Sie an welchen Stellen die durch

Text erkannt:

für \( (x, y) \neq(0,0) \) und \( u(0,0)=v(0,0)=w(0,0)=0 \) definierten Funktionen \( u, v, w: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar sind, und bestimmen Sie die Ableitungen, wo möglich.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher wie genau ich hierran gehen soll. Ich kann ja nicht jede Stelle überprüfen

Comments

Ich kann ja nicht jede Stelle überprüfen

Musst du auch nicht. Den Großteil der Stellen diskutiert man weg:

Die Funktion ist für \( (x,y)\in\mathbb R^2\backslash\{(0,0)\} \) differenzierbar, da sie aus differenzierbaren Funktionen zusammengesetzt ist. Summen, Produkte, Verkettungen diff'barer Funktionen sind diff'bar.

Interessant ist wirklich nur der Punkt \( (0,0) \).

Es gilt:

stetig partiell diff'bar auf Umgebung => diff'bar => partiell diff'bar

Da die Ableitung - im Falle ihrer Existenz - von den partiellen Ableitungen abhängt., berechnt man letztere zuerst. Und vielleicht hat man dann ja sogar Glück und diese sind stetig, dann ist man schon fertig. Um die partiellen Ableitungen in \( (0,0) \) auszurechnen musst du den Grenzwert des Differenzenquotienten nehmen, z.B.

$$ \frac{\partial u}{\partial x}(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{u(0+h,0) - u(0,0)}{h} $$

Für y dann analog.

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Vielen Dank!

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Wenn der Quotient für h gegen 0 unendlich wird dann ist u nicht diffbar in (0,0) oder?

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Richtig. Wenn der Limes nicht existiert ist die Funktion dort nicht differenzierbar.

Aber das ist bei u nicht der Fall.

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Ja war nur als beispiel gedacht.

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Man muss dann noch über die Definition für diffbarkeit in der Stelle zeigen, dass das gegen 0 geht oder? Weil partielle Diffbarkeit reicht ja nicht. Also Df(0,0)=(0,0)

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Man muss dann noch über die Definition für diffbarkeit in der Stelle zeigen, dass das gegen 0 geht oder?

Man muss die partiellen Ableitungen halt ausrechnen.

Für diese Funktion sind sie in (0,0) sind beide =0

Für Diff'barkeit reicht das tatsächlich noch nicht. Da kannst du jetzt entweder die lineare Abbildung angeben, (Darstellungsmatrix ist der transponierte Gradient) und die Bedingung aus der Def. Der Diffbarkeit nachrechnen.

Oder du zeigst dass die partiellen Ableitungen auf einer Umgebung von (0,0) existieren (das ist klar) und in (0,0) stetig sind. Dazu kann man die Limiten

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \partial_xu(x,y) $$

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \partial_yu(x,y) $$

bestimmen und zeigen, dass diese beide =0 sind. Dann sind die partiellen Ableitungen in (0,0) stetig nach dem Folgenkriterium, da sie in (0,0) selbst ja den Wert 0 haben, wie du zuvor bereits berechnet hast.

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Vielen vielen Dank!

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Oder du zeigst dass die partiellen Ableitungen auf einer Umgebung von (0,0) existieren (das ist klar) und in (0,0) stetig sind. Dazu kann man die Limiten

Wir hatten versucht den GW zu bestimmen, aber es wird sehr sperrig... L'Hospital kann man z.B. hier nicht anwenden... wäre es möglich in Polarkoordinaten zu wechseln? Oder wie geht man da vor.

Vielen Dank auch nochmal für die Hilfe

Answer 1

Aloha ;)

Wenn es dir mit den üblichen Mitteln der Differentialrechnung gelingt, die Funktion abzuleiten, so ist sie automatisch auch differenzierbar, denn genau das hast du ja dann gemacht. Du kannst hier also einfach die Ableitung bilden und prüfen, ob sie an einigen Stellen nicht eindeutig definiert ist. Diese Stellen musst du dann gesondert auf Differenzierbarkeit prüfen.

Die Ableitung ist einfach nur der Gradient (streng genommen als Zeilenvektor, aber ich schreibe ihn der Übersichtlichkeit wegen als Spaltenvektor):$$\operatorname{grad}u(x;y)=\left(\begin{array}{c}y\ln(x^2+y^2)+xy\cdot\frac{2x}{x^2+y^2}\\[1ex]x\ln(x^2+y^2)+xy\cdot\frac{2y}{x^2+y^2}\end{array}\right)$$

Der Gradient ist für alle \((x;y)\ne(0;0)\) definiert.

Nun haben wir das Problem, dass in der Aufgabenstellung explizit \(u(0;0)=0\) definiert wird. [Das hatte ich übersehen, hj2166 hat aber augepasst.] Daher gibt es einen Punkt, bei dem zwar die Funktion \(u(x;y)\) definiert ist, nicht aber die Ableitung, die wir bestimmt haben.

Daher musst du nun noch die Differenzierbarkeit von \(u(x;y)\) an der Stelle \((0;0)\) separat untersuchen.

Comments

wie auch die Funktion \(u(x;y)\).

Die ist doch definiert !

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Danke hj2166 ;)

Ich habe die Aufgebenstellung nicht genau genug gelesen...

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Im übrigen ist die Existenz der partiellen Ableitungen kein Garant für Differenzierbarkeit.

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Stimmt, aber hier sind die parteillen Ableitungen ja stetig ;)

stetig partiell differenzierbar \(\implies\) (total) differenzierbar

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Was genau sagt der Gradient aus?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Gradient_(Mathematik)

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Also muss ich einfach nur Ableiten und dann schauen ob es stellen gibt die nicht an denen f nicht diffbar ist? Für mich erscheint die Aufgabe nämlich erst diese Stellen zu finden

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ggT2 hat nicht zu Ende gerechnet.

Für die Ableitung brauchst du Produkt- und Kettenregel.

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Ja hab ich eben auch gesehen, deswegen habe ich meinen Kommentar geändert

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Und muss ich nur in (0,0) prüfen? oder gibt es auch andere Möglichkeiten?

Answer 2

Produktregel anwenden:

nach x:

u= xy -> u'= y

v= ln(x^2+y^2) -> v' = (2x)/(x^2+y^2)

nach y: analog

https://www.ableitungsrechner.net/

Comments

Also heißt das ich muss einfach nur ableiten und schauen wo die Funktion eventuell nicht definiert ist?