Berechnen Sie die ersten beiden Ableitungen + Bestimmen sie ohne GTR die Extrempunkte und Wendepunkt

Question

Aufgaben:

1. Berechnen Sie die ersten beiden Ableitungen f' und f''.

a) \( f(x)=x^{2}-4 x \)

b) \( f(x)=2-3 x-2x^{2} \)

c) \( f(x)=(x-1)(x-2) \)

d) \( f(x)=1-\frac{2}{x} \)

e) \( f(x)=2 \sqrt{x}+1 \)

f) \( f(x)=(x+1) \cdot \frac{2}{x} \)

g) \( f(x)=a \cdot x^{3} \)

h) \( f(x)=2 x^{k+1} \)

i) \( f(x)=\frac{x^{n-1}}{n-1} \)


2. Bestimmen Sie zunächst ohne GTR die Extrempunkte und die Wendepunkte des Graphen der Funktion. Kontrollieren Sie anschließend Ihr Ergebnis mit dem GTR.

a) \( f(x)=3 x^{2}-x^{3} \)

b) \( f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x+4 \)

c) \( f(x)=9 x+\frac{1}{x} \)

Comments

Wo hast du da Schwierigkeiten?

Bei Bedarf kann dir Wolframalpha die Ableitungen bestimmen

Hier für i)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx+x%5E%28n-1%29%2F%28n-1%29
https://www.wolframalpha.com/input/?i=d%5E2%2Fdx%5E2+x%5E%28n-1%29%2F%28n-1%29

Solltest Du allerdings nur zur Kontrolle machen.

Answer 1

Hi,

ich fange mal an. Du kannst ja dann mal fertig machen und bei Problemen nochmals nachhaken ;).

 

a)

f(x)=x^2-4x      (Summandenweise ableiten)

f'(x)=2x-4

f''(x)=2

 

b)

f(x)=2-3x-2x^2   (Summandenweise ableiten)

f'(x)=-3-4x

f''(x)=-4

 

c)

f(x)=(x-1)(x-2)=x^2-3x+2             (Ausmultiplizieren erlaubt summandenweise ableiten)

f'(x)=2x-3

f''(x)=2

 

d)

f(x)=1-2/x                   (Summandeweise ableiten)

f'(x)=2/x^2

f''(x)=-4/x^3

 

e)

f(x)=2√x+1=2*x^{0.5}+1

f'(x)=2*1/2*x^{-0.5}=1/√x

 

etc.

 

Bei der zweiten Aufgabe muss man wieder ableiten:

f(x)=3x^2-x^3

f'(x)=6x-3x^2

f''(x)=6-6x

f'''(x)=-6

 

Extremstellen -> f'(x)=0=6x-3x^2=3x(2-x)

Also x₁=0 und x₂=2

Überprüfen mit f''(x)≠0.

 

Wendestelle -> f''(x)=0=6-6x

x=1

Überprüfen mit f'''(x)≠0.

(Die Punkte findest Du, wenn Du die x-Werte in f(x) einsetzt ;)).

 

So gehe auch mit den anderen vor.

 

Grüße