Wendestellen und Extrempunkte von f(x)=0,025x^4+0,6x^2+1

Question

Hey zusammen, 
Ich habe Schwierigkeiten bei der schriftlichen Berechnung der Wendestellen und Extrema der Funktion f(x) = 0,025x^4+0,6x^2+1
Zunächst möchte ich euch fragen, ob die Funktion, wenn ihr sie plottet, auch eine Parabel ergibt?Wenn ja, ist das bei Funktionen vierten Grades nicht eigentlich unüblich?

Nun zu meiner eigentlichen Frage: Ist es möglich die Extrema und Wendestellen komplett schriftlich zu errechnen oder muss ab einer bestimmtem Stelle der Taschenrechner ran?
Ich weiß grundätzlich wie man notwendige und hinreichende Bedingungen bei Extremstellen- und Wendepunktberechnungen anwendet, in der Praxis komme ich bei dieser Aufgabe aber ein wenig ins Straucheln. 
Kann mir vielleicht jemand helfen? LG

Answer 1

Der Plott sieht folgendermassen aus:

~plot~0.025x^4+0.6x^2+1 ~plot~

Zoome mal ein wenig daran rum. 

Das ist keine Parabel (im Sinn von Kegelschnitt). Es ist ein sogenannt biquadratische Funktion. 

Es gibt kein lokales Maximum, aber ein globales Minimum y=1 bei x= 0. Vgl. auch https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.025x%5E4%2B0.6x%5E2%2B1

Comments

Dankeschön! Können Sie mir eventuell auch mit den Rechnungen helfen, bitte?

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HIer noch die reine Rechnung ohne Taschenrechner.

f(x) = 0,025x⁴+0,6x²+1 

f ' (x) = 0.1 x^3 + 1.2x = x(0.1x^2 + 1.2)

Hier kann nur der erste Faktor 0 werden. x1=0 ist darum der einzige Kandidat für eine Extremalstelle.

f ''(x) = 0.3x^2 + 1.2 

f ''(0) = 1.2 > 0 → Lokales Minimum bei x=0.

und 

f ''(x) = 0.3x^2 + 1.2 ist nie kleiner als 1.2 ==> Es gibt keine Wendestelle. 

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Wie ist das gemeint mit "ist nie kleiner als 1,2"?Bedeutet das, dass die zweite Ableitung nie =0 ist?
Vielen Dank !!

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Richtig. Grund dafür ist das Quadrat bei x in f''(x)= 0.3x² + 1.2.

x^2 kann nicht negativ sein, wenn x reell ist. 

EDIT: x^4 kann ja auch nie negativ sein. Daher kannst du schon bei

f(x) = 0,025x⁴+0,6x²+1  

durch "scharfes Hinsehen" erkennen, dass der Graph von f(x) sein globales Minimum y=1 an der Stelle x=0 annimmt. 

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Ahhh alles klar!

Schönen Abend noch :)