Dim des Kernes und dessen Basis

Question

Hi, brächte eben eine Bestätigung, ob meine Gedankenwege richtig sind. 
Gesucht ist die Dimension des Kerns der Spurabbildung und dessen Basis. Spurabbildung ist die Summer der Diagonalelemente einer Matrixalso von K^nxn →K , dabei sei K ein Körper

Um die Dimension des Kernes zu bestimmen würde ich den Rangsatz verwenden 
dim(K^nxn)=dim(Bild)+dim(Kern)
die Dimension meines Vektorraums K^nxn ist n² und die Dimension meines Bildes ist 1. (Da ich ja in meinen Körper abbilde und dieser nur von der 1 erzeugt werden kann).Somit ist die Dimension des Kerns =n²-1
Die Basis sind demnach alle Matrizen mit nur der 1 an der Stelle a_ij für j≠i (Anzahl n²-n)hinzu kommen 
(a₁₁-a₂₂   0         0)     (a₁₁-a₃₃   0      0   )( 0             a₂₂     0)  ;  (    0           0      0   )  und das eben durch bis a_nn( 0             0         0)     (    0           0     a₃₃)
(komm nicht ganz so klar mit dem Formeleditor, hoffe ihr versteht mich), das wären nochmal n-1 Matrizen. Das würde sehr gut mit dem Ergebnis des Rangsatzes zusammenpassen: n²-n+n-1=n²-1
Vielen Dank schonmal

Answer 1

Na das ist doch eine Top-Überlegung.

Ich finde es völlig OK.