Minimum. Für welchen Wert von a ist die Fläche minimal?

Question

Die Aufgabe stammt ursprünglich aus der Integralrechnung und ist ein kleiner Abstecher zum Extremalproblem.
Die Aufgabe: Zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = (1/a) * x^3 + a^2 (a>0) und der x-Achse liegt über dem Intervall [0;1] eine Fläche.
a) Fertigen Sie für a=1 eine Skizze an. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche für a=1.
    Meine Lösung steht unten im Bild.
b) Für welchen Wert vpn a wird der Inhalt der Fläche minimal?

     Hier komme ich nicht mehr weiter...



zu a):

Answer 1

f(x) = (1/a) * x³ + a²

F(x) = (1/a) * (1/4) * x^4 + a^2 * x + C

A(a) = ∫_(0)^1 (1/a) * x³ + a²) dx 

= (1/a) * (1/4) * x^4 + a^2 * x |_(0)^1 

=  (1/a) * (1/4) * 1 + a^2 * 1  - (  (1/a) * (1/4) * 0 + a^2 * 0 ) 

= 1/(4a) + a^2 

Bitte nachrechnen und gegebenenfalls berichtigen.

Danach A(a) ableiten nach a (Variable ist nun a  !)  und Ableitung Null setzen. 

Hier mal eine Skizze mit a=1, a=2 und a=0.1. Sie zeigt, dass a nahe bei 0 und a viel grösser als 1 zu grösseren und nicht zu kleineren Flächen führen. a liegt also irgendwo zwischen 0.1 und 2 . Wo genau findest du über den obenen erwähnten Rechenweg. 

 ~plot~ (1) * x^3 + 1^2; (1/2) * x^3 + 2^2; (1/0.1) * x^3 + (0.1)^2; [[-2|2|-1|11]]; x=1 ~plot~

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Vielen Dank für deine schnelle Antwort und deine Mühe :)

Ich habe alles nachgerechnet und habe dann die weiteren Schritte erledigt.

Answer 2

b) ₀∫¹(x³/a+a²)dx=₀[x⁴/(4a)+a²·x]¹=1/(4a)+a² Die zu minimierende Fläche hat also die Formel:

F(a)=1/(4a)+a². Nullstelle der ersten Ableitung ergibt sich aus 2a-1/(4a²)=0 mit der Lösung a=1/2.

Für a=1/2 wird die Fläche minimal.

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Verstanden habe ich es nun. Ich hatte zuerst enorme Probleme mit dem Nullsetzen. Ich habe dort

0 = (-1/4a^2) + 2a genommen und bin nicht auf deine Umformung mit

0 = 2a-1/(4a^2) gekommen. Es fällt immer sehr schwer, so etwas zu erkennen. Also vielen Dank nochmal!

Answer 3

Deine Lösung für a.) ist richtig.
Rolands Lösungsweg und Lösung ist auch
richtig.

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Wer hat hier eine Spam-Markierung gesetzt
und vor allem warum ?