Integralrechnung Obersumme mit unendlich n: Fehler?

Question

Ich habe schon mal nach etwas gefragt, dabei ging es jedoch um eine andere Funktion und um die Untersumme. Dieses mal geht es um die Obersumme.

bis jetzt ist das gemacht:

$f(x)=4 x^{2}-1,5 x ; I=[0,3]$
$\Rightarrow \frac{3}{n} \cdot\left(f\left(1 \cdot \frac{3}{n}\right)+\ldots+f\left(n \cdot \frac{3}{n}\right)\right)$
$=\frac{3}{n} \cdot\left(\left(4 \cdot\left(1 \cdot \frac{3}{n}\right)^{2}-1,5 \cdot 1 \cdot \frac{3}{n}\right)+\ldots+\left(4 \cdot\left(n \cdot \frac{3}{n}\right)^{2}-1,5 \cdot n \cdot \frac{3}{n}\right)\right)$
$=\frac{3}{n} \cdot\left(\left(4 \cdot\left(1 \cdot \frac{3}{n}\right)^{2}+\ldots+4 \cdot\left(n \cdot \frac{3}{n}\right)^{2}\right)+(-1,5) \cdot\left(1 \cdot \frac{3}{n}\right)+\ldots+(-1,5) \cdot\left(n \cdot \frac{3}{n}\right)\right)$
$=\frac{3}{n} \cdot\left(\frac{12}{n^{2}} \cdot\left(1^{2}+\ldots+n^{2}\right)+\left(-\frac{4,5}{n}\right) \cdot(1+\ldots+n)\right)$
$=\frac{36}{n^{3}} \cdot\left(1^{2}+\ldots+n^{2}\right)+\left(-\frac{12,5}{n^{2}}\right) \cdot(1+\ldots+n)$
$=\frac{36}{n^{3}} \cdot\left(\frac{\left(n^{2}+n\right) \cdot(2 n+1)}{6}\right)+\frac{-13,5}{n^{2}} \cdot\left(\frac{n^{2}+n}{2}\right)$
$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{72 n^{3}+108 n^{2}+36 n}{6} n^{3}+\frac{-13,5 n^{2}+13,5 n}{2}=12-6,75=5,25$

Das Ergebnis dabei ist 5.25, das Ergebnis laut WolframAlpha jedoch 29.25.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+4*x%5E2+-+1.5*x+from…

Weiß jemand wo der Fehler ist?

Answer 1

in der 4.ten Zeile hast du links 4*3=12 ausgeklammert, es muss aber 4*3²=36 ausgeklammert werden.

Dann bekommst du am Ende 12*3-6.75=36-6.75=29.25

PS: in den letzen beiden Zeilen hast du vergessen n³ bzw. n² im Nennern zu schreiben.