1.) Eine Urne enthält 5 rote Kugeln, 4 blaue Kugeln und 3 weiße Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dreimal nacheinander mit Zurücklegen mindestens eine blaue Kugel zu ziehen.
Die Farbe der anderen Kugeln ist egal. Also 4 blaue und 8 nicht blaue Kugeln.
P(mind. 1 blau) = 1 - (keine blau) = 1 - 8/12 * 8/12 * 8/12 = 19/27
2.) Aus einem Gefäß, das 4 weiße Kugeln, 3 schwarze Kugeln und 1 rote Kugel enthält, werden zwei Kugeln (ohne diese zurückzulegen!) gezogen.
a.) Eine Kugel ist rot und eine ist weiß.
P(rw, wr) = 2 * 1/8 * 4/7 = 8/56 = 1/7
b.) Die zweite Kugel ist weiß.
P(ww, sw, rw) = 4/8 * 3/7 + 3/8 * 4/7 + 1/8 * 4/7 = 1/2
c.) Mindestens eine der Kugeln ist schwarz oder rot.
P(mind. 1 ist rot oder schwarz) = 1 - P(alle weiß) = 1 - 4/8 * 3/7 = 11/14
3.) Bei einem Abiball wird eine Tombola durchgeführt; insgesamt werden 1000 Lose ausgegeben, 300 davon sind Gewinnlose.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, unter fünf gekauften Losen 1) genau zwei,
(5 über 2) * 300/1000 * 299/999 * 700/998 * 699/997 * 698/996 = 30.94%
genähert mit Binomialverteilung
(5 über 2) * (3/10)^2 * (7/10)^3 = 0.3087
2) mindestens zwei Gewinnlose zu ziehen?
1 - P(0) - P(1) = 1 - 700/1000 * 699/999 * 698/998 * 697/997 * 696/996 - 5 * 300/1000 * 700/999 * 699/998 * 698/997 * 697/996 = 47.20%
genähert mit Binomialverteilung
1 - (5 über 0) * (3/10)^0 * (7/10)^5 - (5 über 1) * (3/10)^1 * (7/10)^4 = 47.18%
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Gewinnlose unter 100 verkauften Losen um mehr als eins vom erwarteten Wert abweicht?
Erwartungswert = 30
genähert mit Binomialverteilung
1 - P(29) - P(30) - P(31) = 1 - (100 über 29) * (3/10)^29 * (7/10)^{100-29} - (100 über 30) * (3/10)^30 * (7/10)^{100-30} - (100 über 31) * (3/10)^31 * (7/10)^{100-31} = 74.37%
c) Wie viele Lose muss man kaufen, um mit mehr als 90%iger Wahrscheinllichkeit mit mindestens einem Gewinn rechnen zu können?
P(kein Gewinn) < 10%
700/1000 * 699/999 * 698/998 * 697/997 * 696/996 * 695/995 * 694/994 = 8.16%
genähert mit Binomialverteilung
(7/10)^n < 0.1
n > LN(0.1)/LN(7/10) = 6.455696235
Man muss 7 Lose kaufen
d) Wie groß müsste der Anteil p der Gewinnlose sein, damit man beim Kauf von fünf Losen mit 99%iger Wahrscheinlichkeit mit zumindest einem Gewinn rechnen kann?
q^5 < 0.01
q > 0.01^{1/5} = 0.3981
p = 1 - q = 1 - 0.3981 = 60.19%
In einer Fabrik werden Schrauben produziert. Es ist bekannt, dass der Ausschussanteil der Schrauben 4% beträgt.
a) Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit (in Prozent auf eine Stelle gerundet), dass unter 200 zufällig ausgewählten Schrauben der Aussschuss mindestens drei Schrauben beträgt;
1 - P(X = 0, 1, 2) = 1 - ∑ (k = 0 bis 2) (200 über k)·0.04^k·0.96^{200 - k} = 1 - 0.0125 = 98.75%
genau vier Schrauben Ausschuss sind,
(200 über 4)·0.04^4·0.96^{200 - 4} = 5.55%
und höchstens vier Schrauben zum Ausschuss gehören.
P(X = 0, 1, 2, 3, 4) = 1 - ∑ (k = 0 bis 4) (200 über k)·0.04^k·0.96^{200 - k} = 9.50%
c) Berechnen sie, wie viele von 50 Schrauben Ausschussschrauben sind. Wie sehr schwankt voraussichtlich dieser Wert nach oben bzw. nach unten?
Erwartungswert = 50 * 0.04 = 2
Standardabweichung = √(50 * 0.04 * 0.96) = 1.386
d) Unter wie viel Schrauben findet man mit 98-%iger Wahrscheinlichkeit mindestens eine Ausschussschraube?
0.96^n < 0.02
n > 95.8
Unter 96 Schreiben sollte man mit 98%iger Wahrscheinlichkeit mind. eine Ausschussschraube finden.
