Grenzwert von Folge mit an= ( ^{2n}√(4^n+16^n) ) / (^n√(5^n+9^n) )?

Question

Hallo ich habe eine Aufgabe an welche verstehe ich nicht so

Untersuchen Sie die Folge (a_n) n∈ℕ mit

a_n= ( ²ⁿ√(4ⁿ+16ⁿ) ) / (ⁿ√(5ⁿ+9ⁿ) )

auf Konvergenz und geben Sie - falls möglich - den Grenzwert an.

in Lösung steht

a_n= ( ²ⁿ√(4ⁿ+16ⁿ) ) / (ⁿ√(5ⁿ+9ⁿ) ) =4/9 ( ²ⁿ√(1/4ⁿ+1ⁿ) ) / (ⁿ√(5/9ⁿ+1ⁿ) )     wie kommt man auf 4/9 ?

Answer 1

a_n= ( ²ⁿ√(4ⁿ+16ⁿ) ) / (ⁿ√(5ⁿ+9ⁿ) )

=   ( ²ⁿ√(4²ⁿ /  4ⁿ   +4²ⁿ) ) / (ⁿ√(9ⁿ*5ⁿ / 9ⁿ  +   9ⁿ) )


=   ( ²ⁿ√(4²ⁿ  * (1 /  4ⁿ   +  1 ) )     /    (ⁿ√(9ⁿ  (  5ⁿ / 9ⁿ  +  1) )

=   ( ²ⁿ√(4²ⁿ )    ²ⁿ√(1 /  4ⁿ   +  1 ) )     /    (ⁿ√(9ⁿ )*  ⁿ√ (  5ⁿ / 9ⁿ  +  1) )


=   4 *    ²ⁿ√(1 /  4ⁿ   +  1 ) )     /   9 *  ⁿ√ (  5ⁿ / 9ⁿ  +  1) )

=   4/9     *    ²ⁿ√(1 /  4ⁿ   +  1 ) )     /   ⁿ√ (  5ⁿ / 9ⁿ  +  1) )


es geht halt darum in der Wurzel so auszuklammern, dass man aus dem

ausgeklammerten Faktor die entsprechende Wurzel auch glatt ziehen kann.