Dreieck, Punkte auf den Seiten? Vektoren, Verwirrung.

Question

Gegeben sei ein Dreieck ABC mit den Eckpunkten A(0/6/6)m B (0/6/3) und C (3/3/0) sowie die Punkte P (2/2/2), Q (2/4/1) und R (2/5,5/4,5)

Versuchen Sie ein Schrägbild anzufertigen und überprüfen Sie rechnerisch, welche der Punkte P,Q und R auf den Seiten des Dreiecks liegen.

Wie gehe ich nun hier vor?

Hätte erst eine geradengleichung aufgestellt:

g (AC): x→ = (0/6/6) + s * (3/-3/-6) s∈ℝ

Dann eine Punktprobe mit R durchgeführt:

ich hätte für s=2/3 und s= 0,5/3

Also liegt der Punkt nicht auf der Gerade und dasselbe Prinzip hätte ich auch mit dem Punkt P bei AC und bei Q hätte ich ausgerechnet, ob es auf der Strecke BC liegen würde.

Wäre mein Ansatz richtig?

Answer 1

Wenn man die Punkte in die x,y-Ebene einzeichnet, dann sieht man, dass nur der Punkt Q für einen Kantentreffer in Frage kommt. Aufgrund der z-Koordinaten ist die Kante BC ein aussichtsreicher Kandidat.

B+ r (C-B) = Q => r=2/3 => Q liegt auf der Strecke BC

Answer 2

Du musst jeden der Punkte bei jeder Geraden einsetzen. Insgesamt maximal 9 Rechnungen machen. Wenn ein Punkt auf einer Seite liegt, musst du nicht mehr prüfen, ob er auch auf den andern Seiten liegt. Wenn nicht dagegen schon. 

Ausserdem: s muss zwischen 0 und 1 liegen, wenn du die andern Geradengleichungen gleich aufstellst, wie dein Beispiel. 

Comments

also müsste ich jetzt g AC, g AB und g BC berechnen?

Wenn ich jetzt zum Beispiel bei g(AB) bei Punkt r  t=0, t=0, t=1/2 erhalte

das heißt doch, dass der Punkt nicht auf der gerade liegt oder?

Aber der Grenzwert: 0 und 1 ist enthalten.

Also liegt der Punkt nicht auf der Gerade aber zwischen AB schon?

---

Wenn du EINEN Punkt in EINER Geraden prüfst, musst du für jede Koordinate denselben Parameter erhalten. Dann liegt der Punkt auf der Geraden. 

Parameter zwischen 0 und 1 heisst Punkt liegt im Innern der Dreiecksseite.

Parameter 0 oder 1: Punkt automatisch auf 2 Dreiecksseiten. 

Sonst: Punkt neben dem Dreieck. 

In diesen drei Fällen (Parameter eindeutig gefunden) musst du den betreffenden Punkt bei den andern beiden Geraden nicht mehr einsetzen. - Sonst schon. 

---

Also Punkt R läge jetzt aufgrund des Parameters r=0,5 im Inneren der Dreiecksseite?

---

Es lautet doch R∉g und R∈AB oder?

---

Nochmals: Hast du bei allen 3 Komponentengleichungen t = 1/2 erhalten, als du R in (AB) eingesetzt hast? 

Wenn nicht, liegt R nicht auf (AB) . t muss eindeutig sein. 

---

I 2=0+0t ⇔ t=0

II 5,5=6+0t⇔ t=0

III 4,5=6-3t⇔ t=1/2

R∉g v R∉AB

So? Und das hätte ich nochmal bei AC und und BC machen müssen?

---

Ja genau, wenn du das rein rechnerisch machen möchtest. 

---

Nochmal eine Frage. Die Parameterwerte müssen immer identisch sein, erst dann liegt der Punkt auf der Gerade und erst dann ist der Punkt auch zwischen AB (Intervall: 0<x<1)?

---

Die Parameterwerte müssen immer identisch sein, erst dann liegt der Punkt auf der Gerade und erst dann ist der Punkt auch zwischen AB, wenn Parameter t im (Intervall(0,1): Also 0<t<1)? 

Richtig. 

---

Danke, meine Verständnisfrage hat sich nun geklärt.