Nullstellen - einfach oder mehrfach

Question

Zeige, dass x_0 = 2

f(x) = x^3 - 3x^2 + 4

eine einfache Nullstelle der Funktion ist, indem du die Nullstelle abspaltest.

Wenn es eine einfache Nullstelle ist, dann ist f(x) = 0 und g(x) nicht 0

g(x) = (x^3 - 3x^2 +4) : (x-2) = da komme ich auf x^2 - 4x und dann stehe ich an. Könntet ihr diese Polynomdivision ausrechnen?

Wie mache ich dann weiter? Wenn das Ergebnis der Polynomdivision nicht 0 ist wenn ich x_0 einsetze, ist es eine einfache Nullstelle?

Answer 1

x1 = 2

(x^3 - 3·x^2 + 4) / (x - 2) = x^2 - x - 2

x^2 - x - 2 = 0 --> x2 = 2 ∨ x3 = -1

-1 ist eine Einfache und 2 eine Doppelte Nullstelle

x^3 - 3·x^2 + 4 = (x + 1)·(x - 2)^2