rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck mit analytischer Geometrie berechnen

Question

wir sollen die angehängte Aufgabe lösen.

Die Koordinaten der Eckpunkte und den Flächeninhalt zu berechnen würde ich wahrscheinlich hinbekommen, aber mir fehlt der Ansatz. Ich habe keine Ahnung wie ich an G1 kommen soll, wenn mir nur H1 gegeben ist.

Ich brauche ja einen Normalenvektor zu g bzw. eine Gerade die orthogonal zu g ist und durch den Punkt H1 geht. Aber wie bekomme ich die?

!

P.S.: Bitte nur Lösungsansätze schreiben, die etwas mit analytischer Geometrie zu tun haben. Das ist gerade unser Thema und das ist das was ich lernen und können muss. Ich verstehe, dass es auch immer andere Wege gibt um auf ein richtiges Ergebnis zu kommen, aber das bringt mir leider in der Schule nichts. Da muss man nun mal das Thema lernen was im Lerhplan steht.

Comments

Ohne die gerade g zu kennen ist das leider nicht machbar. Bitte darauf achten Aufgaben vollständig zu posten. Ansonsten ist es schwer dir zu helfen.

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Oh stimmt... ich hatte vergessen die Geradengleichungen zu posten, sorry!

Achso und ich meinte, wenn ich erst mal den Punkt G1 habe, dann wird das andere wahrscheinlich kein Problem sein. Aber ich weiß nicht, wie ich an den Punkt komme.

Answer 1

Du schreibst "Die Koordinaten der Eckpunkte und den Flächeninhalt zu berechnen würde ich wahrscheinlich hinbekommen, ...." Wenn du die Koordinaten der Eckpunkte nicht das Problem sind, geht es so weiter: G₁ liegt in der Mitte zwischen P₁ und Q₁. Also x-Koordinten von P₁ und Q₁ addieren und die Summe halbieren, y-Koordinten von P₁ und Q₁ addieren und die Summe halbieren.

Wenn das aber von mir falsch verstanden wurde, sehe ich noch die Möglichkeit, die Senkrechte auf g durch H₁ mit g zu schneiden.

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Ich meinte, wenn ich den Punkt G1 habe, dann kann ich das andere bestimmt ausrechnen, aber ich weiß nicht wie ich an den Punkt G1 komme. Die Geradengleichungen habe ich jetzt oben ergänzt.

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Mein Vorschlag war: Senkrechte auf g durch H₁ mit g zu schneiden. Hier die Durchführung: (1;1;4) steht senkrecht auf g. Dann hat die Senkrechte auf g durch H₁ die Gleichung (x;y;z)=(5;-;1)+s(1,1,4) (narürlich alles in Spaltenschreibweise). Das Gleichsetzen mit g hat dann die Lösungen s=-1 und r=0. Dann gilt  G₁(4;-2;3).

Answer 2

Du willst ja nur einen Ansatz und rechnest gern alles nochmals neu aus, was du bei a), b) und c) vielleicht schon berechnet hast.

Arbeite z.B. mit Skalarprodukten:

H_(1)Q_(1) * H_(1)P_(1) = 0

H_(1)Q_(1) * H_(1)Q_(1) = H_(1)P_(1) * H_(1)P_(1)

G_(1)P_(1) * G_(1)H_(1) = 0

usw. |  "gleich lang" und "senkrecht" kannst du gut mit Hilfe von Skalarprodukten in Gleichungen umsetzen. Vgl. oben. 

Für die H  , P und Q jeweils Punkte auf den entsprechenden Geraden einsetzen. Geht mit allen Punkten die du kennst, oder von denen du wenigstens die Gleichung einer Geraden hast, auf der sie liegen.

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Ich meinte, wenn ich den Punkt G1 habe, dann kann ich das andere bestimmt ausrechnen, aber ich weiß nicht wie ich an den Punkt G1 komme. Die Geradengleichungen habe ich jetzt oben ergänzt. 

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Du kannst (2|2|-1) statt G1P1 einsetzen bei

G₁P₁ * G₁H₁ = 0 

Ausserdem gilt gemäss Pythagoras:

√(G₁H_1*G₁H₁ + G₁H_1*G₁H₁) = √2 * √(P₁H_1*P₁H₁ + P₁H_1*P₁H₁) 

falls dir die oberen Gleichungen noch nicht genügen. 

Answer 3

Ich weiss auch nicht, was wirklich gegeben und was zu berechnen ist.

Egal, ob du mit analytischer Geometrie oder konstruktiv vorgehst, solltest du immer wissen, was du machst. Das ist am einfachsten, wenn du dir die Konstruktion überlegst und dann die Schritte der Konstruktion in Rechnungen (Gleichungen...) umwandelst.

Vorhandene Antwort: Die Gleichung

G₁P₁ * G₁H₁ = 0   

beschreibt die Normalenebene N auf g (senkrechte Ebene auf g), die durch H1 geht. 

Statt G_(1)P_(1) kannst du auch einfach den Richtungsvektor von g einsetzen. 

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Ich meinte, wenn ich den Punkt G1 habe, dann kann ich das andere bestimmt ausrechnen, aber ich weiß nicht wie ich an den Punkt G1 komme. Die Geradengleichungen habe ich jetzt oben ergänzt. 

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" beschreibt die Normalenebene N auf g (senkrechte Ebene auf g), die durch H1 geht.

Statt G₁P₁ kannst du auch einfach den Richtungsvektor von g einsetzen. "

Du kannst N mit g schneiden um G1 zu bestimmen.

Aber wie in den andern Antworten schon steht, hast du in den anderen Teilaufgaben bestimmt schon einen grossen Teil der rechnerischen Arbeit erledigt.

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Nein, in den anderen Aufgaben ging es nicht um das Dreieck..und es wurden ganz andere Punkte benutzt.. (alle ohne 1 dahinter) mit den ganzen Daten kann ich bei dieser Aufgabe hier ja nichts anfangen.

Answer 4

([4, -2, -3] + r * [2, 2, -1] - [5, -1, 1]) * [2, 2, -1] = 0 --> r = 0

G1 = [4, -2, -3] + 0 * [2, 2, -1] = [4, -2, -3]