Hallo Rellis,
die Volumen Vverdrängtes Wasser und VBalken verhalten sich wie die Massen und damit wie die Dichten:
VW / VB = ρHolz / ρBalken = 0,8 / 1 = 0,8
Das Volumen VW ergibt sich aus VW = QuerschnittsfächeW * LängeBalken
Das Volumen VB ergibt sich aus VB = QuerschnittsfächeB * LängeBalken
Die Querschnittsfläche des Balkens Ist AB = π r2
Mit h = Teilstück des Balkendurchmessers, der sich im Wasser befindet, gilt:
QuerschnittsflächeW ist ein Kreissegment mit
AW = r2 * arccos(1 - h/r) - (r - h) * √(2rh - h2)
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment
Im Folgenden kürzt sich die Balkenlänge weg und man kann mit den Querschnittsflächen rechnen:
→ VW / VB = AW / AB = ( r2 * arccos(1 - h/r) - (r - h) * √(2rh - h2)) / (π r2 ) = 0,8
Gesucht ist also eine positive Nullstelle von
f(h) = ( r2 * arccos(1 - h/r) - (r - h) * √(2rh - h2)) / (π r2 ) - 0,8 = 0
Da der gesuchte Prozentanteil (2r-h) / (2r) nicht von der Größe von r abhängt, kann man r = 1 m wählen:
f(h) = (arccos(1 - h) - (1 - h) ·√(2h - h2)) / π - 0.8
f '(h) = 2·√(h·(2 - h)) / π
[ für f '(h) kann man jeden richtigen Term nehmen, der sich beim Ableiten ergibt! ]
Newtonverfahren: ( Im Folgenden h = x )
Lösung der Gleichung f(x) = arccos(1 - x) - (1 - x) ·√(2x - x2) / π - 0.8 = 0
mit f '(x) = √(x·(2 - x)) / π - (x2 - 2·x - π + 1) / (π·√(x·(2 - x)))
Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner - immer bessere Werte mit der Formel
xneu = xalt - f(xalt) / f ' (xalt)
Mit Startwert x = 1 :
x | f(x) | f '(x) |
1 | -0,3 | 0,636619772 |
1,471238898 | -0,011506124 | 0,561502212 |
1,491730578 | -7,27559E-05 | 0,554335013 |
1,491861827 | -3,0969E-09 | 0,554287819 |
1,491861833 | 0 | 0,554287817 |
2r - h = 2m - h ≈ 2m - 1,49113 m = 0.508138167 m ragen aus dem Wasser
Gesuchter Prozentanteil ≈ 0.508138 / 2 ≈ 0.254069 ≈ 25,407 %
(Edit: Excel-Eingabe geändert, vgl. Kommentar)
Gruß Wolfgang