Newtonsche Näherungsverfahren: Baumstamm schwimmt in Wasser

Question

Bitte um Hilfe bei einem Beispiel zum Newtonschen Näherungsverfahren.

Aufgabe:

Ich weiß nur, dass die Masse des Stammes = der Masse des Verdrängten Wassers is t ( Roh = 1kg/dm^3  Wasser)

Ciao Rellis

Comments

Ich komme dabei auf 25.41%. Da ich mir aber nicht sicher bin ob ich da einen Fehler habe, schreibe ich meine Rechnung hier erstmal nicht hin.

Es macht aber eigentlich sinn. Wenn die Dichte halb so groß wäre wie die des Wassers, dann würde der Baumstamm zur hälfte untergehen. So sollte er mehr untergehen.

Wer Lust hat kann ja mal nachrechnen. 

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25,407% stimmt.

Brauchst also vor einer Veröffentlichung keine Angst zu haben, wirst dich nicht blamieren.

Answer 1

Hallo Rellis,

die Volumen V_{verdrängtes Wasser}  und   V_Balken  verhalten sich wie die Massen und damit wie die Dichten:

V_W / V_B = ρ_Holz / ρ_Balken  = 0,8 / 1  = 0,8 

Das Volumen V_W  ergibt sich aus  V_W  =  Querschnittsfäche_W * Länge_Balken

Das Volumen V_B  ergibt sich aus  V_B =  Querschnittsfäche_B * Länge_Balken

Die Querschnittsfläche des Balkens Ist  A_B = π r² 

Mit  h = Teilstück des Balkendurchmessers, der sich im Wasser befindet, gilt:

Querschnittsfläche_W  ist ein Kreissegment mit

                                         A_W  = r² * arccos(1 - h/r) - (r - h) * √(2rh - h²)

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment

Im Folgenden kürzt sich die Balkenlänge weg und man kann mit den Querschnittsflächen rechnen: 

→  V_W / V_B =  A_W / A_B  = ( r² * arccos(1 - h/r) - (r - h) * √(2rh - h²)) / (π r² ) = 0,8 

Gesucht ist also eine positive Nullstelle von  

                              f(h) = ( r² * arccos(1 - h/r) - (r - h) * √(2rh - h²)) / (π r² ) - 0,8 = 0

Da der gesuchte Prozentanteil  (2r-h)  / (2r)  nicht von der Größe von r abhängt, kann man r = 1 m wählen:

f(h)   =  (arccos(1 - h) - (1 - h) ·√(2h - h²)) / π - 0.8

f '(h) =  2·√(h·(2 - h)) / π

[ für f '(h) kann man jeden richtigen Term nehmen, der sich beim Ableiten ergibt! ]

Newtonverfahren:   ( Im Folgenden h = x )

 Lösung der Gleichung  f(x)   =  arccos(1 - x) - (1 - x) ·√(2x - x²) / π - 0.8  = 0

                                 mit   f '(x) =  √(x·(2 - x)) / π - (x² - 2·x - π + 1) / (π·√(x·(2 - x)))     

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner -  immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

Mit Startwert  x = 1 :

x	f(x)	f '(x)
1	-0,3	0,636619772
1,471238898	-0,011506124	0,561502212
1,491730578	-7,27559E-05	0,554335013
1,491861827	-3,0969E-09	0,554287819
1,491861833	0	0,554287817

2r - h = 2m - h ≈  2m - 1,49113 m  =  0.508138167 m  ragen aus dem Wasser

Gesuchter Prozentanteil ≈ 0.508138 / 2 ≈  0.254069  ≈ 25,407  % 

  (Edit: Excel-Eingabe  geändert,  vgl. Kommentar)

Gruß Wolfgang

Comments

Ich habe das jetzt nicht nachgerechnet aber solltest du nicht eigentlich auf die gleichen Prozentzahlen wie ich und hj2166 kommen.

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Wolfgang hat für \(\pi\) den Wert 3,14 genommen. Dadurch erklärt sich der Unterschied.

Wenn \(\pi\) nur auf 3 Stellen genau ist, so darf das Ergebnis natürlich auch nur auf maximal 3 Stellen genau dargestellt werden.

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Ich hatte anfangs in meinem Excelprogramm für das NV π= 3,14 genommen, weil es die Konstante pi aus ungeklärten Gründen nicht angenommen hat. Später habe ich es dann durch 4*arctan(1) ersetzt. Kann leider nicht mehr kontrollieren, ob ich das konsequent durchgeführt hatte. 

Habe es noch einmal eingegeben und erhalte euer Ergebnis. Habe es korrigiert.

Answer 2

Mein Ansatz war

Fläche des Kreisabschnittes = 0.8 mal die Fläche des Kreises

r^2·ACOS(1 - h/r) - (r - h)·√(2·r·h - h^2) = 0.8·pi·r^2

Nun kann man r auf 1 LE setzen. und h berechnen. Achtung. h ist dabei jetzt aber der Teil der unter Wasser liegt.

Aber danach den prozentualen Anteil berechnen der über Wasser liegt sollte dann auch nicht so schwer sein.

Ich komme dabei auf das Ergebnis, dass 25.41% des Durchmessers noch aus dem Wasser ragen.

Comments

Ein Kreissegment hat die Fläche  A  =  r^2/2 * (α - sin α) . 80% des Stamms sind unter Wasser also ist 4A₁ = A₂  (A₁ : oberhalb ,  A₂ : unterhalb der Wasserlinie)  und also  A₂ = r^2/2 * (β - sin β)  mit  β = 2π - α .  Somit ist   α - 2π/5  =  sin α  mit dem Newton- oder Fixpunkt-Verfahren zu lösen  (α = 2,11314 ...)  und der gesuchte Bruchteil ist   ( 1 - cos(α/2) ) / 2 .