minimale Kosten Produktionsfunktion: F(K,L)= K0.1 +L

Question

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf

F(K,L)= K0.1 +L

Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK =0.25 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL =14. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 230 ME produziert werden soll. Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?

Ich komm nicht so wirklich auf das richtige Ergebnis.

Comments

Es geht hier ganz offensichtlich um eine Optimierungsaufgabe mit Nebenbedingung.
Was muss minimiert werden?  Die Funktion Kosten = 0,25 K + 14 L?
Was ist F?  Der Output, der 230 sein soll?  Oder was sonst?

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@Gast: Schau dir die vielen Links bei den "ähnlichen Fragen" an. Das müsste doch zu schaffen sein.

Bsp. https://www.mathelounge.de/13200/inputfaktors-kapital-kostenminimum-produktionsfunktion Aber Achtung: Text ganz genau vergleichen.

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Jetzt machen wir das mal so wie von dir, Lu, angeregt.

Zielfunktion:  Kosten(K, L) = 0,25 K + 14 L   ->    Gesucht Minimum
Nebenbedingung:   0,1 K + L = 230
Kosten(K, L) = 0,25 K + 14 L – λ (0,1 K + L  - 230)
d Kosten / d K = 0,25 – 0,1 λ = 0   =>    λ = 2,5
d Kosten / d L = 14 – λ = 0   =>   λ = 14

Aufgrund der linearen Nebenbedingung klappt das nicht mit dem Lagrange.  Was tun?  Ohne Lagrange rechnen?

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@Gast und Roman: Bei allen andern Fragestellern wurde der Exponent nicht dargestellt. D.h. ich vermute, dass

F(K,L)= K^0.1 +L gemeint war. 

Warte mal auf eine Reaktion des Gastes. 

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Hier handelt es sich wohl um ein Darstellungsproblem. Es war K^0,1 gemeint.

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Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf 

F(K,L)=K0.1+L

Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK=0.45 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL=3. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 370 ME produziert werden soll.

Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten? 

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Ähnliche Aufgabenstellung wie unter

https://www.mathelounge.de/431965/minimale-kosten-produktionsfunktion-f-k-l-k0-1-l

Zunächst also probieren mit der dortigen Rechnung ein Ergebnis zu erzielen. Wenn du nicht weiter kommst dann hier nochmals nachfragen. Bitte stell dann auch deinen Ansatz rein.

Answer 1

Nebenbedingung

k^0.1 + l = 230 --> l = 230 - k^0.1

Hauptbedingung

C = 0.25·k + 14·l

C = 0.25·k + 14·(230 - k^0.1)

C = 0.25·k - 14·k^0.1 + 3220

C' = 0.25 - 1.4/k^0.9 = 0 --> k = 6.781

l = 230 - 6.781^0.1 = 228.8

Comments

Vielen Dank, Mathecoach.  Der Fragesteller hat den *Exponenten* von K unterschlagen.  Wieso machen es die Fragesteller einem immer so schwer?  Shit in, shit out.

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Danke für die ausführliche Antwort! :)

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Das Problem liegt wohl daran, dass man einfach nur per cut & paste Aufgaben kopiert und hier einstellt.

Der Fragesteller macht sich selber weder vorher gedanken solche Aufgabe selber zu lösen, noch sich die Mühe hier nach ähnlichen Aufgaben zu schauen und vor allem auch nicht die Mühe wenigstens offensichtliche Mängel die beim Kopieren über cut & paste auftreten zu korrigieren.

Eigentlich sollte man auf solche Fragestellungen gar nicht mehr antworten.

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Das Problem ist, dass man oft nicht ohne weiteres eine korrekte Aufgabenstellung von einer fehlerhaften unterscheiden kann.

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Es ist Jahre her, dass ich Mathe zum letzten Mal geübt habe. Kann jemand mir sagen, wie man k berechnet hat? Danke :D

C' = 0.25 - 1.4/k^0.9 = 0 --> k = 6.781

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0.25 - 1.4/k^0.9 = 0

0.25 = 1.4/k^0.9

1/0.25 = k^0.9/1.4

4 = k^0.9/1.4

4*1.4 = k^0.9

5.6 = k^0.9

5.6 = k^{9/10}

5.6^{10/9} = k

k =  5.6^{10/9} = 6.781