Minimale Kosten? Produktionsfunktion F(K,L)=K+ L^{0.7}

Question

Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Komme nicht auf die richtige Lösung.

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf

F(K,L)=K+ L^{0.7}

Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK =4 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL =0.9. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 120 ME produziert werden soll. Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?

Comments

@Komme nicht auf die richtige Lösung. 

Was hast du genau gerechnet? Hast du die Rubrik "ähnliche Fragen" gesehen? Gib bitte den Link zu der Frage an, die zu deiner Frage am besten passt. 

Answer 1

F(K,L)=K+ L^0.7    

Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK =4 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL =0.9.

Kosten  f(K,L) = 4K + 0,9*L

Output von 120 ME produziert werden soll.   K+ L^0.7   = 120 

                                                                         K = 120 -  L^0.7 

Also Kosten in Abhängigkeit nur von L 

             f(L) = 4K + 0,9*L = 4(120 -  L^0.7   )  + 0,9*L

                                 = 480 -4L^0,7 +0,9L

   f ' (L) = 0,9 - 2,8*L^-0,3       f ' (L) = 0 <=> L = 43,96

Einzige Nullstelle der Ableitungsfunktion, also ist dort das Min.

Comments

Wie kommt 2,8 ?

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Ableitungsregel: y = a*x^n , y' = a*n*x^{n-1} wurde benutzt. Konkret:

Es wird  f(L) = = 480 -4L^0,7 +0,9L abgeleitet. Zwischenschritt: 

f ' (L) = 0 - 4*0.7*L^{0.7 - 1} + 0.9*1* L^{1-0} 

= -2.8 * L^{-0.3} + 0.9 

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Und wie hast du L ausgerechnet? Zum Beispiel ich hab meine Frage bis Ende gerechnet aber kann nicht L finden :-D

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Anleitung steht doch da.

Erste Ableitung 0 setzen:

-2.8 * L^-0.3 + 0.9  = 0   | Nach L auflösen (oder einen Rechner das machen lassen) 

0.9 = 2.8 * L^-0.3        | : 2.8

0.9 / 2.8 = (L^{- 3/10 })    | ^{-10/3}

(0.9 / 2.8)^{-10 / 3} = L 

Zur Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=-2.8000000+*+L%5E(-0.3000000)+%2B+0.900000++%3D+0 bei L auf "approximate form" drücken. 

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Du  kannst übrigens bei Wolframalpha direkt die Funktion f(L) eingeben. 

Dann rechnet der dir automatisch das globale Minimum und dessen Stelle L aus.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(L)%3D+4(120+-++L%5E(0.7)+++)++%2B+0.9*L 

Wiederum auf "approximative form" gehen. (Bei Kommazahlen ist zu empfehlen noch ein paar Nullen zu ergänzen, damit Wolframalpha nicht zu stark rundet.Alternative: Brüche eingeben. Also 0.7 = 7/10 usw. ).