Produktionsfunktion, minimale Kosten unter Nebenbedingung berechnen (Lagrange)

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf
F(K,L)=KL^3.

Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK=28
und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL=25. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmers unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 700 ME produziert werden soll.

Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?

Problem/Ansatz:

Ich habe mir andere Fragen bereits angeschaut aber komme trotzdem nicht auf die Lösung.

Meine Lagrange funktion wäre L= 28K+25L-lambda*(K*L^3-700)

Wie mach ich jetzt richtig weiter?

Answer 1

Hier zunächst nur eine Kontroll-Lösung von Wolframalpha.

Kannst du bitte schon die partiellen Ableitungen bilden und die Null setzen?

Comments

Meine partziellen Ableitungen wären

K= 28 - lambda*L^3=0

L= 25 - lambda*K*3L^2=0

Lambda: K*L^3=700

---

28 - l^3·λ = 0
25 - 3·k·l^2·λ = 0
k·l^3 = 700

Du kannst die ersten beiden Gleichungen nach λ auflösen und dann gleichsetzen

λ = 28/l^3 = 25/(3·k·l^2)

Diese Gleichung kannst du jetzt nach l oder k auflösen und in die dritte Gleichung einsetzen.

k = 25/84·l

Also

(25/84·l)·l^3 = 700

Das kannst du jetzt nach l auflösen.