Vektorrechnung. Variablen a,b,c und d so bestimmen, dass sich g und h schneiden? Ist das überhaupt lösbar?

Question

Hey

Aufgabenstellung

Geben sie die Werte der Variablen a,b,c und d so an, dass sich die Geraden g und h schneiden.

(Vorweg Entschuldigung für die Schreibweise)

g:x=  (-5,7,a)+r*(b,-6,2)

g:x=  (1,c,3)+s*(-3,3,d)

Mein Ansatz: Gleichsetzen

(-5,7,a)+r*(b,-6,2) = (1,c,3)+s*(-3,3,d)

Daraus dann das Gleichungssystem:

I.   -5+b*r =1-3s

II.  7-6r     = c+3s

III. a-6r     =3-ds

Ich hab dann mal die 2. GLeichung nach r aufgelöst und in die 1. eingesetzt, komme aber nicht weiter, weil da immer eine Variable zu viel ist. Ich meine auch, dass unser Lehrer mal gemeint hat, man bräuchte mind. so viele Zeilen wie Variablen, das heißt mit r und s habe ich insgesamt 6 Variablen und brächte mind. 6 Zeilen beim Gleichungss.?  Gibt es einen anderen Weg? Oder muss ich einfach solange auflösen, bist was rauskommt?

Danke für jeden, der sich Zeit nimmt

Answer 1

Wenn du ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 6 Parametern hast, bedeutet dies, dass es mehrere Lösungen gibt. Daher kannst du 3 der 6 Parameter frei wählen und die anderen damit ausrechnen.

Wenn du für deine Aufgabe beispielsweise a = 1, b= 1 und c= 2 wählst, erhältst du

I:    -5 + r = 1 - 3s

II:   7 - 6r = 2 + 3s

III: 1 + 2r = 3 + ds

Durch diverse Umformungen ergibt sich dann, sofern ich mich nicht verrechnet habe:

r = -1/5

s = 31/15

d = -36/31

Ich habe I umgeformt zu r = 6-3s, das in zwei eingesetzt, erhielt für s 31/15 und anschließend für d -36/15

Also ist eine mögliche Lösung:

g₁:x= (-5,7,1)+-1/5*(1,-6,2)

g₂:x= (1,2,3)+31/15*(-3,3,-36/31)