Man nennt das auch: Einschachtelung der Fläche durch Obersumme und Untersumme. Dazu denkt man sich die Strecke auf der x-Achse von 0 bis 2 in n gleiche Teile zerlegt. Jeder Teil hat dann die Breite 2/n. Über den Teilen errichtet man Rechtecke, deren obere Ecke auf der Kurve mit der Gleichung f(x)=x3 liegt. Ist das die rechte obere Ecke, erhält man die Obersumme, ist es die linke obere Ecke erhält man die Untesumme. Ich führe hier den weiteren Gedankengang für die Obersumme durch: Das erste Rechteck von links hat die Höhe (2/n)3. Dann rücken wir um 2/n nach rechts. das zweite Rechteck hat die Höhe (2·2/n)3 und so weiter bis zum (n-1)-ten Rechteck ganz rechts. Dieses hat die Höhe ((n-1)·n/2)3. Zur Erinnerung: Alle Rechtecke haben die Breite n/2. Das (beliebige) i-te Rechteck hat also die Fläche a/n·(i·a/n)3, die man auch so schreiben kann (a/n)4·i3. Wenn man jetzt alle Rechtecksflächen addiert, kann man (a/n)4 ausklammern und erhält.
(a/n)4.(13+23+33+...+(n-1)3). Der zweite Faktor ist die Summe der ersten n-1 Kubikzahlen, die man kurz so schreiben kann (n-1)2·n2/4. Jetzt alle Klammern auflösen und n gegen unendlich gehen lassen.
Das ist schon ein sehr langer Aufsatz geworden und ich breche hier ab. Wenn noch Fragen sind, werde ich antworten.
