1. Ableitung = 0 setzen: e^x*ln(x)

Question

Hallo ihr!

komme an einer Stelle nicht weiter:

f'(x)=(e^x*ln(x))'

f'(x)=e^x*ln(x)+e^x*x^-1

0=e^x*ln(x)+e^x*x^-1   Ie^x  AUSKLAMMERN

e^x*(ln(x)+x^-1)=0    I  /e^x

ln(x)+x^-1=0            I und was mach ich jetzt?

Danke Schön!

Answer 1

Dein GTR wird dir zeigen: Es gibt keine Nullstellen..

Answer 2

Mit Differentialrechnung

f ( x ) = ln ( x ) + 1/  x

f ´( x ) = 1 / x - 1 / x^2
Stelle mit waagerechter Tangente
1 / x - 1 / x^2 = 0
1 / x = 1 / x^2
x^2 = 1
x = 1
f ( 1 ) = ln ( 1 )  + 1 / 1 = 1
 ( 1 | 1 )

f ´´ ( x ) = - 1 / x^2 + 2 / x^3
f ´´ ( 1 ) = - 1 / 1^2 + 2 / 1^3 = 1

( 1 | 1 ) ist ein Tiefpunkt / Extrempunkt und
liegt oberhalb der x-Achse.
Tiefer geht es nicht.
Es gibt daher keine Nullstelle.

Comments

Muss ich das denn so machen?

oder kannst du mir auch sagen, wie ich das rechnerisch lösen kann ohne ableitung?

ln(x)+x^-1=0

das wüsste ich auch gerne zur Anwendung der ln gesetze:)

Danke schön!

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Mit der Differnentialrechnungl fiel mir so ein.
Ableiten kannst du doch schon.
Die 2.Ableitung wäre nicht unbedingt nötig.

Mit dem Newton-Verfahren ist es auch möglich.
Dies ist aber noch komplizierter.

Vielleicht jemand anders noch eine Lösung.

mfg Georg

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Mein Lösungweg war
f ( x ) = ln ( x ) + x^-1= 0         

Ich habe berechnet das es einen
Extrempunkt bei ( 1 | 1 ) gibt.
Dieser Punkt ist ein Tiefpunkt
T ( 1 | 1 )
Sonst gibt es keinen weiteren Extrempunkt.

Da der Tiefpunkt oberhalb der x-Achse liegt
schneidet die Funktion die x-Achse nicht
und hat somit keine Nullstelle.

Eine einfachere Möglichkeit der Berechnung kenne
ich nicht.

Üblicherweise heißt es für
ln ( x ) + x^-1= 0         

kann algebraisch nicht berechnet werden

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ah okay, das wusste ich nicht, dass es algebraisch nicht berechnet werden kann:D, danke für den Hinweis!

Das hilft mir sehr weiter, danke!

kann man das pauschal sagen, wenn ln(x) + x irgendas=0, dass man das nicht berechnen kann?

...Damit ich das in der KLausur erkennen kann:)

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Es gibt 2 Möglichkeiten für

ln ( x ) + x^-1= 0         

- die Funktion hat gar keine Nullstelle.
Dies konnte nachgewiesen werden.
Es gibt keine Lösung für x damit die
Funktion wahr wird.
( siehe den Graph )

- Die Funktion hat Nullstellen.
Diese können mit dem Newton-Verfahren
berechnet  werden. Das habt ihr sicher noch
nicht gehabt.

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vielen Dank!!

nein Newton hatten wir nicht! Super, dann weiss ich bescheid!

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Beispiel Nullstellen
algebraisch nicht berechenbar

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Was soll das eigentlich heißen "algebraisch nicht berechenbar"? Es liegt ja nicht einmal eine algebraische Funktion vor!