Konstruktion eines Quadrats ohne Lineal

Question

Von den klassischen Werkzeugen für geometrische Konstruktionen sei nur der Zirkel erlaubt, das Lineal aber verboten. Wie konstruiert man nur mit dem Zirkel die Eckpunkte eines Quadrats (ohne Vorgabe der Seitenlänge)?

Comments

Du suchst nur die Eckpunkte und nicht das ganze Quadrat (nehme ich an). Sonst: Wie willst du denn die Seiten eines Quadrates ohne Lineal zeichnen?  ;)

Kurven, die mit Hilfe von Rädern entstehen und viele andere Animationen (Sprache ist wohl kein Problem, da du siehst, was gemacht wird)

https://mattestigar.wikispaces.com/Hjulkurvor 

Answer 1

Hier ist zumindest schon mal ein rechter Winkel: Gegeben sind zwei Punkte A und B.

1. Zeichne einen Kreis k₁ um A durch B.
   
2. Zeichne einen Kreis k₂ um B durch A.
3. Ein Schnittpunkt der Kreise sei C.
4. Zeichne einen Kreis k₃ um C durch A.
5. Der zweite Schnittpunkt von k₂ und k₃ sei D.
6. Zeichne einen Kreis k₄ um A durch D.
7. Der zweite Schnittpunkt von k₃ und k₄ sei E.

Der Winkel ∠BAE beträgt 90°.

Comments

Kompliment für diese Antwort. Jetzt kann man auch alle 4 geforderten Punkte konstruieren.

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Um ehrlich zu sein ich weiß nicht wie. Ich sehe die Ecken vor lauter Kreisen nicht mehr.

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@oswald Das verstehe ich gut. Ich werde die Lösung heute noch aufschreiben, habe aber im Moment keine Zeit.

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Dieses Konstruktionsproblem heißt auch "Napoleonisches Problem" und eine Lösung geht wohl auf Lorenzo Mascheroni zurück. Sie ist eigentlich, wie ich finde, nicht besonders schwer.

http://www.oliver-bieri.ch/mascheroni/mascheroni_napoleon.htm

Ein Quadrat zu vorgegebenen Eckpunkten ist auch möglich:

http://www.oliver-bieri.ch/mascheroni/mascheroni_quadrat.htm

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Ich bin davon ausgegangen, dass es sich um einen kollabierenden Zirkel handelt.

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Was ist das?

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Nachdem gast0815 bereits die Spitze abgebrochen hat, erspare ich mir meine in Aussicht gestellte Konstruktion. Dass das Problem auf Lorenzo Maschreoni zurückgeht, ist ist dem Umstand zu verdanken, dass eine Schrift des Dänen Georg Mohr (1672) in Vergessenheit geraten ist.

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@Gast az0815 Ein kollabierender Zirkel ist ein Zirkel, der seine Einstellung vergisst, sobald er vom Papier abgehoben wird. Er kann also nicht, wie in deinem Link, dazu verwendet werden, um D einen Kreisbogen mit Radius |AC| zu machen.

Euklid hat in den Elementen für seine Konstruktionen einen kollabierenden Zirkel verwendet. Er  hat aber schon recht am Anfang gezeigt, dass das keine Einschränkung gegenüber einem nicht-kollabierenden Zirkel bedeutet, wenn man ein Lineal ohne Skala verwendet.