Grundoperationen mit Termen

Question

Aufgabe 1:

Fasse so weit wie möglich zusammen!

a) \( 2 a^{3} b+5 a^{2} b^{2}-2 a^{3} b-3 a b^{2}+4 a^{2} b^{2}-b^{2}= \)

b) \( \frac{1}{2} x z-\frac{2}{3} y z-\frac{1}{6} x z+\frac{3}{4} x y+y z= \)

c) \( \quad \frac{1}{2} b+3 \frac{1}{2}-\frac{b}{4}-2 \frac{1}{2}+\frac{3}{4} b= \)

Aufgabe 2:

Setze ein und berechne:

a	b	c	\( \frac{3a^2 - b}{4} + c \)	\( \frac{2a - 3c}{2b} + \frac{b}{c} \)
2	5	6
\( \frac{3}{2} \)	\( \frac{3}{4} \)	1
1	0	1

Answer 1

 

 

1a)

2a³b + 5a²b² - 2a³b - 3ab² + 4a²b² - b² =

5a²b² - 3ab² + 4a²b² - b² =

9a²b² - 3ab² - b²

Bis hierhin war wohl alles einfach, nicht wahr? Jetzt können wir noch b² ausklammern:

(9a² - 3a - 1) * b²

 

1b)

1/2 * xz - 2/3 * yz - 1/6 * xz + 3/4 * xy + yz = 

1/3 * xz - 2/3 * yz + 3/4 * xy + yz =

1/3 * xz + 1/3 * yz + 3/4 * xy =

Vorne 1/3 ausklammern: 

1/3 * (xz + yz) + 3/4 * xy

 

1c)

Ich denke, es soll jetzt heißen 3 1/2 = 3,5 und nicht 3 * 1/2

1/2 * b + 3 1/2 - b/4 - 2 1/2 + 3/4 * b =

1/2 * b - b/4 + 3/4 * b + 1 =

2/4 * b - b/4 + 3/4 * b + 1 =

4/4 * b + 1 =

b + 1

 

Aufgabe 2

1. Zeile, 1. Spalte

(3 * 2² - 5)/4 + 6 = (3 * 4 - 5)/4 + 6 = 7/4 + 6 = 7+3/4 = 7,75

 

2. Zeile, 1. Spalte

(3 * (3/2)² - 3/4)/4 + 1 = (3 * 9/4 - 3/4)/4 + 1 = (27/4 - 3/4)/4 + 1 = (24/4)/4 + 1 = 8/4 + 1 = 3

 

3. Zeile, 1. Spalte

(3 * 1² - 0)/4 + 1 = 3/4 + 1 = 1+3/4 = 1,75

 

1. Zeile, 2. Spalte

(2 * 2 - 3 * 6)/(2 * 5) + 5/6 = (4 - 18)/10 + 5/6 = -14/10 + 5/6 = -14*6/(10*6) + 5*10/(6*10) = -84/60 + 50/60 = -34/60 = -17/30

 

2. Zeile, 2. Spalte

(2 * 3/2 - 3 * 1)/(2 * 3/4) + (3/4)/1 = (3 - 3)/(6/4) + 3/4 = 0 + 3/4 = 3/4

 

3. Zeile, 2. Spalte

(2 * 1- 3 * 1)/(2 * 0) + 0/1 = -1/0 + 0/1

Teilen durch 0 ist nicht erlaubt, deshalb ist auch dieser Term ungültig!

 

Ich hoffe, ich konnte ein wenig helfen; ansonsten: Nachfragen :-)

Comments

Hallo Danke erstmal, aber irgendwie versteh ich denn rechen weg nicht warum wird bei estens so gerechnet ? Woher erfahre ich welchen rechen weg ich nehmen muss um auf das ergbniss zukommen? Danke für die geduld

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@ Anonym:

 

Beziehst Du Dich auf Aufgabe 1: Fasse soweit wie möglich zusammen?

Dabei nimmst Du erstmal die Ausdrücke, die die gleichen Exponenten haben, und fasst diese zusammen, also z.B.

2a³b - 2a³b = 0

oder

5a²b² + 4a²b² = 9a²b²

oder

1/2xz - 1/6xz = 3/6xz - 1/6xz = 2/6xz = 1/3xz

Vielleicht kannst Du Dir vorerst als kleine Eselsbrücke merken, dass die rot gekennzeichneten Ausdrücke irgendwelche Namen sind, z.B. a³b = "Gramm Mehl" und a²b² = "Gramm Zucker" und xz = "Gramm Butter". Dann wird wohl klar, dass Du die Mengen von Mehl, Zucker und Butter separat zusammenfassen kannst, aber nicht mischen :-) 

Und am Schluss schaust Du einfach, welche Terme in allen Ausdrücken gemeinsam auftreten, so dass Du sie ausklammern kannst, z.B.

9a²b² - 3ab² - b²

Der einzige Term, der in allen drei Ausdrücken genauso auftritt, ist hier b², so dass Du ihn aus diesen Ausdrücken herausziehen kannst: 

(9a² - 3a - 1) * b²

Wenn Du jetzt ausmultiplizierst, siehst Du, dass das Gleiche herauskommt wie im Ursprungsterm.

 

Solltest Du Dich auf die Aufgabe 2 beziehen: "Setze ein und berechne!",

dann tust Du genau das: Für jede Variable (für jeden Buchstaben), die in den beiden rechten Termen vorkommt, stur die Zahl einsetzen, die links aufgeführt ist. In der ersten Zeile eben für a = 2, für b = 5 und für c = 6

 

Wenn immer noch etwas unklar ist, bitte nachfragen :-)

 

Besten Gruß

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Warum bei erstens 9ahoch2-3a-1? woher die 1?

Und was bedeutet der kleine Stern?

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Um stellvertretend für Brucybabe zu antworten (ich hoffe durch den Daumen versöhnt :D):

9a²b² - 3ab² - b²

 

Hier wolltet ihr das b^2 ausklammern. D.h. dieser Faktor b^2 muss in jedem Summanden aufzufinden sein und kann dann herausgehoben werden.

Beachte dabei, dass das auch als:

9a²b² - 3ab² - 1*b²

geschrieben werden kann. Hebt man nun b^2 raus, so bleibt der Rest stehen:

b^2(9a^2-3a-1)

 

Klar?

Das * ist dabei das Malzeichen ;).

 

Grüße

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* benutzt man auf dem Computer für 'mal', da ein Kreuzchen mit x verwechselt werden kann.

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@ Unknown:

Danke für Deine Antwort und den Daumen :-)

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Wenn Du irgendeine Variable hast, die nicht mit einer Zahl multipliziert wird, ist es egal, ob Du z.B. b schreibst oder 1*b (einmal b). 

So wie es auch bedeutungslos ist, ob Du 7 schreibst oder 1*7.

Zahl = 1 * Zahl

Variable = 1 * Variable

Spaßeshalber ein Beispiel aus dem Leben: 

Ob Du sagst, "ich will Bonbon" oder "ich will ein Bonbon" - gemeint ist doch dasselbe. Sonst würdest Du sagen: "Ich will zwei Bonbons" (oder drei ...)

 

Oder ein besseres Beispiel aus der Mathematik: 

2x = 14

x = 7

Du rechnest doch: 2x = 14, wieviel ist dann ein x (1*x)?

 

Noch ein Beispiel: 

4 Kugeln Eis kosten 3,20 Euro; wie viel kostet eine Kugel Eis?

4 * x = 3,20 | beide Seiten durch 4 teilen ergibt

4/4 * x = 3,20 / 4 = 0,80

Also

1 * x = 0,80

(Dafür schreibt man dann allerdings im Allgemeinen x = 0,80)

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Hallo wie kommen die 1/3 bei aufgabe 1b zustande ? danke

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1/2 - 1/6 | 1/2 mit 3 erweitern, damit wir 2 Brüche mit gleichem Nenner haben:

3/6 - 1/6 =

2/6 | und durch 2 kürzen

1/3

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Hallo wie erweitert man denn und kürzt? und können Sie mir bitte nochmal 1c erklähren und bedeutet das / geteilt durch ?

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Hallo warum bei 1 zeile 2 spalte -14 mal 6 nicht 14mal5 und 10 mal 6 und warum mal muss nicht zu denn -14/10 plus die 5/6 ? Verstehe ich nicht bitte um hilfe

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Erweitern: 

Man multipliziert Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl, z.B. 3/7 = 6/14; Zähler und Nenner wurden mit 2 mal genommen.

Kürzen:

Das Gegenteil: Man dividiert Zähler und Nenner durch die gleiche Zahle, z.B. 20/30 = 2/3; Zähler und Nenner wurden durch 10 geteilt.

/ bedeutet geteilt durch, richtig!

1c)

1/2 * b + 3,5 - b/4 - 2,5 + 3/4 * b

Das kann man umsortieren:

1/2 * b - b/4 + 3/4 * b + 3,5 - 2,5

1/2 * b - b/4 + 3/4 * b + 1

Jetzt erweitern den ersten Bruch mit 2, so dass wir die Ausdrücke mit b zusammenfassen können:

1*2/(2*2) * b - b/4 + 3/4 * b + 1

2/4 * b - 1/4 * b + 3/4 * b + 1

4/4 * b + 1

1 * b + 1

b + 1

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Aufgabe 2; 1. Zeile 2. Spalte

a = 2; b = 5; c = 6

(2a - 3c) / (2b) + b/c

a wird eingesetzt:
(2*2 - 3c) / (2b) + b/c

b wird eingesetzt:

(2*2 - 3c) / (2 * 5) + (1 * 5) / c

c wird eingesetzt:
(2 * 2 - 3 * 6) / (2 * 5) + (1 * 5) / 6

Wir rechnen die Klammern aus:
(4 - 18) / 10 + 5 / 6

-14 / 10 + 5 / 6

Wir erweitern den ersten Bruch mit 6 und den zweiten Bruch mit 10, damit wir jeweils im Nenner 60 stehen haben und die Brüche addieren können:
(-14 * 6) / (10 * 6) + (5 * 10) / (6 * 10)

-84 / 60 + 50 / 60

-34 / 60
Und das können wir durch 2 kürzen, weil sowohl -34 als auch 60 durch 2 teilbar sind; wir teilen also Zähler und Nenner durch 2:
(-34/2) / (60/2)

-17 / 30