Flut und Ebbe. Finde eine passende Funktion zu den unten angegebenen Bedingungen.

Question

An der Nordsee dauert es von Flut zu Flut an einem Ort 12 Stunden. Morgens um 8 ist der Wasserstand 1m über dem Mittlerem Wasserstand und es steigt. Bei Hochwasser ist der Wasserstand 2m über dem mittlerem Wasserstand. Finde eine passende Funktion die das eben beschriebene modelliert.

Answer 1

Die Sinusfunktion kann man denke ich so direkt hinschreiben

f(x) = 2·SIN(2·pi/12·(x - 8) + pi/6)

Amplitude

Periodenlänge der Sinusfunktion

Periodenlänge in der Modellierung

Zeitverschiebung

Phasenverschiebung

Skizze:

Vereinfacht kann man die Funktion dann auch wie folgt schreiben

f(x) = 2·SIN(pi/6·(x - 7))

Answer 2

es handelt sich um einen periodischen Vorgang. Der Erfinder der Aufgabe will vermutlich auf eine Sinus- oder Cosinus-Funktion hinaus (ist dies gerade Thema im Unterricht?).

Die Periodendauer dieser Funktion ist 12 h.

f(t) = A*sin(360° * t/12h + B)

Die Nebenbedingungen lassen sich ausdrücken (beschreiben):

f_{max} = 2 m ==> A = 2 m

f(8 h) = 1m ==> 2m * sin(360° * 8h/12h + B) = 1 m,

sin(240° + B) = 1/2,

B = arcsin(1/2) - 240°,

B kann als sogenannte Phasenverschiebung gedeutet werden. A ist die Amplitude der Sinus-Funktion.

MfG

Mister

Comments

also ehrlich gesagt versteh ich das jetzt nicht wirklich:$

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schade. Die beiden Nebenbedingungen sind Forderungen an die Funktion f, die ja die Höhe der Tide (des Wasser) beschreiben soll. Da das Maximum der Sinus-Funktion +1 ist, muss sie mit 2m multipliziert werden, um das Maximum der Zielfunktion f auf 2 m zu bringen.

Die zweite Bedingung sagt aus, dass der Tidenstand zu einer bestimmten Uhrzeit (8:00 h) 1 m beträgt. Diese Bedingung muss nun nach B umgestellt werden, um B auszurechnen. Der Koordinatenursorung ist in diesem Fall übrigens 0:00 h.

Sind A und B bestimmt, kannst du sie in die Ausgangsfunktion einsetzen und bist fertig. Sollte deine Funktion allerdings bei 8:00 h nicht steigen, sondern fallen, so musst du A = 2m durch A = -2m ersetzen und B noch einmal ausrechnen (B hat dann einen anderen Wert).

MfG

Mister

Answer 3

Da die Funktion periodisch ist kann man ein Sinus oder Cosinus verwenden. Der Höchstwasserstand spiegelt die Amplitude dar sowie die x-Achse den mittleren Wasserstand andeutet.

Die Funktion lautet also

f(x)=2*sin(...)

Der Sinus muss nun angepasst werden, weil eine Periode ja 12h gehen soll und um 8 Uhr der Wasserstand 1m betragen soll. Um den Sinus um diese 8h nachrechts schieben zu können benutzt man einen Phasenwinkel, welcher in diesem Fall 2/3 groß ist. (8h/12h) Die Umrechnung von Grad in Bogenmaß erfolgt mit Pi/2. Die Periode kann man mit einem Faktor vor dem x beeinflussen. Bei uns 12, weil wir statt bei 1 bei 12 eine volle Periode erreicht haben wollen. Da um 8 genau ein Stand von 1m sein soll muss man den arcsin benutzen.

phi = arcsin(1/2)          1/2, weil 1m von 2m Maximalhöhe gesucht ist.

phi~0.523598776

Die Funktion lautet also