Grenzwert einer Folge berechnen mit Substitution: lim (e^{-1/x^2}/(x^3)) . Warum 2. Substitution?

Question

lim (e^{-1/x²}/(x³))  für n gegen 0 berechnen.

wir haben 1/x=t gesetzt.

⇒lim (e^-t²)/(1/t³)    t gegen 0               2.

=lim t³/(e^{t²})

Nun haben wir L´Hospital angewendet. Nun meine Frage, warum wandeln wir das in den letzten Schritt um, eigentlich haben wir ja schon bei 2. den Fall 0/0

Comments

EDIT: Zu Beginn wohl: lim (e^{-1/x²}/(x³))  für x gegen 0 berechnen.  ?!

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Inwiefern geht es denn überhaupt um eine "Folge"?

Answer 1

Hi, beides ist richtig und sollte zum gleichen Ergebnis führen, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l%E2%80%99Hospital

Answer 2

Bei deiner Gleichung 2 ergibt sich 1/∞, also 0.  Damit ist die Aufgabe gelöst.  Bei der darauf folgenden Gleichung ergibt sich 0/1, also auch 0.  Damit ist die Aufgabe auch gelöst.  Den l’Hospital brauchen wir hier nicht, weil wir keinen Ausdruck der Form 0/0 oder ∞/∞ haben.

Answer 3

wenn 1/x=t und x gegen 0 strebt, dann strebt t gegen +-∞.Die zweite Umformung wird gemacht, damit die Ableitungen von Zähler und Nenner noch einfacher werden ;).

Alternativ: substituiere sofort x^{-2}=t

x^3=t^{-3/2}

f(t)=t^{3/2}/e^t

t--->+∞

Lim t --->∞ f(t)=0