Warum ändert sich die Grenze bei der Substitution mit y=2^x?

Question

(2^x-1)/(2^x+1) ist gegeben sollte ich nun die Grenze davon für positiv unendlich und negativ unendlich betrachten, indem wir 2^x als y substituieren, jedoch verstehe ich nicht warum bei der substitution für positiv unendlich es limes y gegen unendlich heißt aber bei negativ unendlich limes y gegen 0

Answer 1

y = 2^x

lim_(x-> ∞) 2^x = ∞ . D.h. wenn x --> unendlich geht, geht y auch gegen unendlich.

Aber

lim_(x-> - ∞) 2^x = 0 . D.h. wenn x --> (minus unendlich) geht, geht y auch gegen 0.

Erinnere dich an den Graphen der Exponentialfunktionen, da kannst du gut erkennen, was x gegen plus und minus unendlich für y bedeutet.

Bsp. ~plot~2^ x~plot~

Answer 2

Durch Polynomdivision erhält man

1 - 2 / ( 2^x + 1 )

lim x −> ∞ [ 1 - 2 / ( 2^x + 1 ) ] = 1 - 2 / ∞ = 1 - 0 = 1

Für den anderen Fall ist
2^{-∞} + 1 = 1 / 2^∞ + 1 = 0 + 1 = 1

lim x −> -∞ [ 1 - 2 / ( 2^x + 1 ) ] = 1 - 2 / 1  = 1 - 2 = -1

Comments

Ich habe mir gerade nocheinmal deine Frage durchgelesen.
Die andere Antwort beantwortet diese wohl besser.