Sorry, habe gerade erst entdeckt, dass diese Frage noch nicht hinreichend beantwortet ist - vielleicht freust du dich ja auch nach 4 Tagen noch .. ? :-)
$$\sum _{ v=0 }^{ 11 }{ (2v+1)^{ 2 } } -\sum _{ v=2 }^{ 12 }{ (2v-3)^{ 2 } }$$Aus der ersten Summe das nullte Glied herausziehen und bei der zweiten Summe eine Indextransformation durchführen (Grenzen - 1, Variable + 1 ):$$=1+\sum _{ v=1 }^{ 11 }{ (2v+1)^{ 2 } } -\sum _{ v=1 }^{ 11 }{ (2(v+1)-3)^{ 2 } }$$Das Innere des zweiten Summenterms ausmultiplizieren:$$=1+\sum _{ v=1 }^{ 11 }{ (2v+1)^{ 2 } } -\sum _{ v=1 }^{ 11 }{ (2v-1)^{ 2 } }$$Summenterme ausmultiplizieren und, da die Summengrenzen identisch sind, alles unter eine Summe schreiben:$$=1+\sum _{ v=1 }^{ 11 }{ \left[ 4v^{ 2 }+4v+1-(4{ v }^{ 2 }-4v+1) \right] }$$Den Summenterm zusammenfassen:$$=1+\sum _{ v=1 }^{ 11 }{ 8v }$$Konstanten Faktor 8 vor die Summe ziehen$$=1+8\sum _{ v=1 }^{ 11 }{ v }$$Summe der ersten 11 Zahlen ausrechnen (z. B. mit dem "kleinen Gauß"):$$=1+8*66$$$$=529$$$$={ 23 }^{ 2 }$$
