Kreisgleichung - Erklärung Richtungsvektor MX^2 = R^2

Question

Es geht um die Einführung der Kreisgleichung 

MX^{2} = R^{2}

Das ist ja die vektorielle Gleichung des Kreises k mit dem Mittelpunkt M(u,v) und dem Raduis R

Wenn es jetzt um die Koordinatengleichung in Mittelpunktsform geht heisst es folgendermassen.

Wenn wir das in einem Koordinatensystem betrachten, wissen wir MX^{2} = R^{2}

Nun ist aber der Radius

MX = r_(X) - r_(M) = (x-u "und x-y)

und daher Hier verstehe ich es nicht mehr wie man darauf kommt.

MX = (x-u^{2} - (y-v)^{2}

Somit liegt der Punkt X genau dann auf dem Kreis wenn

(x-u)^{2} +  (y-v)^{2} = R^2

Das wäre dann die gleichung on der Mittelpunktsform.


Also ich verstehe nicht, wenn man den ganzen Term Quadriert wie man von diser Schreibweise in Klammern zu (x-u)^{2} + (y-v)^{2} kommt

$$\vec { MX } =\quad \vec { { r }_{ X } } -\vec { { r }_{ M } } =\quad \begin{pmatrix} x-u \\ y-v \end{pmatrix}\\ \vec { MX } =\quad (x-u)^{ 2 }+(y-v)^{ 2 }$$

Answer 1

Sehe gerade, dass P bei dir X heisst.

Ergänze noch ein paar Hilfslinien, damit du x-u und y-v verstehst.

Der Rest ist dann gemäss Eigenschaften des Skalarprodukts zu rechnen.

Du rechnest  MP * MP = (x-u)*(x-u) + (y-v)*(y-v)  und bekommst |MP|^2 = R^2

Comments

genau, ich hab das eigentlich schon verstanden. Geht es um die Mittelpunktsgleichung des Kreises k gilt folgendes.

$$(x-u)^{ 2 }+(y-v)^{ 2 }\quad =\quad R^{ 2 }\\ $$

ICh weiss nur nicht wie man das 

\begin{pmatrix} x-u \\ y-v \end{pmatrix}^{ 2 }=\quad (x-u)^{ 2 }+(y-v)^{ 2 }

Also wenn ich das ausrechne und schliesslich auf die zwei quadrierten subtrahenden und minuenden komme. 

Für mich ergibt es eben das wenn ich mit Zahlen arbeite anstatt mit Buchstaben

$$\begin{pmatrix} 2-1 \\ 6-4 \end{pmatrix}=\quad \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

und wusste nicht dass ich anstatt das ergebnis es auch so schreiben kann. 

$$\begin{pmatrix} 2-1 \\ 6-4 \end{pmatrix}=\quad (2-1)+(6-4)\quad =\quad 6$$

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Also das was in den grossen klammern steht war ausgerechnet für mich immer in den klammern im Fall einer Subtraktion aber eben hier habe ich nun gesehen. Sprich das Ergebnis bei solchen Rechnungen welche in grossen Klammern zuerst addiert oder subtrahiert werden war für mich bisher eben auch in Klammer.


Aber beim Skalarprodukt hat man ja die Klammer mal Klammer 
Klammer mal Klammer = a_x+b_x folglich also in Summanden geschrieben.

Aber eben ganz oben in meiner Problemstellung wird ja eigentlich auch subtrahiert. 
Und deswegen kann ich es nicht nachvolll ziehen dass

(Klammer -Klammer)^{2} = (x - u)^{2} + (y-v)^{2}

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Das Skalarprodukt von 2 Vektoren berechnet man folgendermassen

Du hast nur 2 Komponenten, somit brauchst du a_(3)b_(3) nicht.

https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt

Im Link lernst du auch, dass der Betrag im Quadrat rauskommt, wenn du einen Vektor "skalar" mit sich selbst multiplizierst.

Und das macht man, bei der Kreisgleichung, da der Radius R konstant und bekannt ist.

Einen Vektor darfst du nicht einfach = eine Zahl bekommen. Aber wenn du einen Vektor mit einem Vektor skalar multiplizierst, kommt eine (reelle) Zahl raus.