Question

e-Funktion ableiten mit Produkregel und Kettenregel:

$$f _ { 0 } ( t ) = a \cdot \left( 1 - e ^ { - 0,02 \cdot t } \right) ^ { 2 } , t \geq 0$$

Könnte mir jemand diese Funktion bitte einmal ableiten? Es wäre nett wenn man mir auch die Schritten die man macht langsam erklären würde.

Answer 1

f ( t ) = a * ( 1 - e^{-0.02*t} ) ^2

Für a gilt die Konstantenregel : bleibt so erhalten

[ ( term ) ^2 ] ´ =  2 * term ^{2-1} * term ´
[ ( term ) ^2 ] ´ =  2 * term  * term ´

bisher
f ´( t ) = a * [ 2 * ( 1 - e ^{-0.02*t} )  * ( 1 - e^{-0.02*t} ) ´ ]

allgemein
[ e ^{term} ]´ = e ^term * ( term ´)
term = -0.02*t =
term ´ = -0.02
[ e ^{-0.02*t} ] ´ = e ^{-0.02*t} * ( -0.02 )

( 1 - e^{-0.02*t} ) ´ = -0.02 * - e^{-0.02*t}
( 1 - e^{-0.02*t} ) ´ = 0.02 *  e^{-0.02*t}

f ´( t ) = a * [ 2 * ( 1 - e ^{-0.02*t} )  * ( 0.02 * e^{-0.02*t} )

man kann noch zusammenfassen
f ´( t ) =  a * 0.04 * ( 1 - e ^{-0.02*t} )  * e^{-0.02*t}

Answer 2