Ableiten Kettenregel Mathe

Question

Aufgabe:

warum macht man bei (x+1)^2 die Kettenregel um die Ableitung zu erhalten. Könnte man nicht einfach rechnen x^2+1^2 und das dann einfach ableiten.

Answer 1

Natürlich kann man (x+1)² auch als Summe schreiben und dann summandenweise ableiten.

Man darf das allerdings nicht so tun wie du, denn (x+1)² ist NICHT x²+1².

Irgendwann in deiner schulischen Laufbahn sollten dir mal binomische Formeln begegnet sein...

Answer 2

Aloha :)

Setz in deine Überlegungen mal \(x=1\) ein:$$(x+1)^2=x^2+1^2\implies(1+1)^2=1^2+1^2\implies2^2=1^2+1^2\implies4=2$$Offenbar sind deine Überlegungen noch unvollständig:$$(x+1)^2=(\red x+\red 1)\cdot(\green x+\green1)=\red x\cdot\green x+\red1\cdot\green x+\red x\cdot\green1+\red1\cdot\green1=x^2+2x+1$$Allgemein ist das als erste binomische Formel bekannt:$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$Daher gilt für die Ableitung:$$\left((x+1)^2\right)'=\left(x^2+2x+1\right)'=2x+2$$

Answer 3

Wer die binomischen Formeln kennt, der weiss, dass

(a + b)^2 = a^2 + 2·a·b + b^2

Von daher darfst du deinen Term ausmultiplizieren und ableiten.

f(x) = (x + 1)^2 = x^2 + 2·x + 1

f'(x) = 2·x + 2

Mittels Kettenregel ist es allerdings noch etwas einfacher

f(x) = (x + 1)^2

f'(x) = 2·(x + 1)^1·1 = 2·(x + 1)