Ableiten mit Produkt- und Kettenregel. Bsp. f(x) = 0,5 x^2 * √(4-x)

Question

 ich brauch ein wenig Hilfe bei den 5 folgenden Aufgaben:

Diese soll ich jeweils ableiten. Es wäre sehr nett, wenn ihr mir zu den Aufgaben einen kleinen Lösungsweg aufschreibt, wie ihr auf die abgeleitete Funktion kommst, da ich es sonst nich verstehe.

 !

1. f(x) = 1/x * e^{-x^2}

2. f(x) = √(x^2 + 1)*e^{-x}

3.f(x) = (2x - 1)^2 * √x

4. f(x) = 0,5 x^2 * √(4-x)

5. f(x) = (5 - 4x)^3 * x^{-2}

Answer 1

Esist immer dasselbe Prinzip:

Produktregel:

f ' ( x ) = u ' * v + u * v '

Kettenregel:

"innere Ableitung *äußere Ableitung"

Damit erhält man für die ersten beiden Funktionen:

1)

$$f(x)=\frac { 1 }{ x } *{ e }^{ -{ x }^{ 2 } }$$$$u=\frac { 1 }{ x } ={ x }^{ -1 }$$$$u'=-{ x }^{ -2 }=\frac { -1 }{ { x }^{ 2 } }$$$$v{ =e }^{ -{ x }^{ 2 } }$$$$v'=-2x{ e }^{ -{ x }^{ 2 } }$$Daher: $$f'(x)=u'*v+u*v'$$$$=\frac { -1 }{ { x }^{ 2 } } *{ e }^{ -{ x }^{ 2 } }+\frac { 1 }{ x } *-2x{ e }^{ -{ x }^{ 2 } }$$$$=-\left( \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } -2 \right) { e }^{ -{ x }^{ 2 } }$$

2)

$$f(x)=√({ x }^{ 2 }+1)*{ e }^{ -x }$$$$u=√({ x }^{ 2 }+1)=({ x }^{ 2 }+1)^{ \frac { 1 }{ 2 }  }$$$$u'=2x*\frac { 1 }{ 2 } ({ x }^{ 2 }+1)^{ -\frac { 1 }{ 2 }  }=\frac { x }{ √({ x }^{ 2 }+1) }$$$$v={ e }^{ -x }$$$$v'=-{ e }^{ -x }$$Daher:$$f'(x)=\frac { x }{ √({ x }^{ 2 }+1) } *{ e }^{ -x }+√({ x }^{ 2 }+1)*(-e^{ -x })$$$$={ e }^{ -x }\left( \frac { x }{ √({ x }^{ 2 }+1) } -√({ x }^{ 2 }+1) \right)$$$$={ e }^{ -x }\left( \frac { -{ x }^{ 2 }+x-1 }{ √({ x }^{ 2 }+1) }  \right)$$

Versuche nun, die nächsten drei Aufgaben selbst zu lösen. Wenn du noch Hilfe brauchst- einfach melden.

Comments

Vielen vielen Dank!


Ich probiere es jetzt mal alleine aus!