Bestimmen sie a so, dass f auf R stetig ist... 1/(1+x)-3/(1+x³) für x != -1 und a für x = 1

Question

hab die folgende Aufgabe:

Wenn man es mit dem Taschenrechner macht, ist a deutlich -1... einfach links und recht von -1 schauen und dann den Mittelwert bilden (mit Betrag)...

Aber wie mache ich das schriftlich? 

mfg

Answer 1

Fasse die Differenz der Brüche zu einem Bruch zusammen und kürze,

das gibt     (x-2) / ( x² - x +1 )  und das hat für x gegen -1 den Grenzwert -1

Comments

Hallo mathef,

wie kommst du ( so schnell ) auf den Bruch ?

mfg Georg

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Hab ein paar Zwischenschritte weggelassen.

Mit Polynomdivision bekommt man

(x³ + 1 ) : ( x+1)  = x² - x + 1 . 

Und im Zähler kann man auch (x+1) herausziehen.

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ich meine

den ersten Schritt

Fasse die Differenz der Brüche zu einem Bruch zusammen

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Möglicherweise kennt er die Faktorisierung

$$ a^3+b^3 = \left(a+b\right)\cdot \left(a^2-ab+b^2\right) $$Siehe dazu auch dein Algebra-Programm:

factor(a ^3 + b ^3)

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Genau: Nenner faktorisieren gibt

1 / ( 1+x)  -  3 / ( 1 +x³ )

beide haben -1 als Nullstelle des Nenners, also

muss beim 2. Polynomdivision durch (x+1) klappen

= 1 / ( 1+x)  -  3 / ( 1 +x ) ( x² - x + 1 ) )    



Dann ersten Bruch mit x² - x + 1  erweitern gibt

= ( x² - x + 1 ) / ( ( 1+x)(x² - x + 1 ))  -  3 / ( 1 +x ) ( x² - x + 1 ) )   

=   ( x² - x -2  ) / ( ( 1+x)(x² - x + 1 )) 

und  ( x² - x -2 ) faktorisieren gibt  (x-2)(x+1) also

= (  (x-2)(x+1) ) /   ( ( 1+x)(x² - x + 1 )) und dann kürzen.

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also alles zusammengefasst mittel gemeinsamen nenner (was mit polynomdivision geht) unddann noch am ende mit 1+x gekürzt... 

(x-2)/(x²-x+1) 

nun ist mir der Schritt mit -1 einsetzen unklar... wieso soll hier nun das ergebnis rauskommen, was ich für a einsetzen muss?

Am anfang sagte ich:

"Wenn man es mit dem Taschenrechner macht, ist a deutlich -1... einfach links und recht von -1 schauen und dann den Mittelwert bilden (mit betrag)..."

hat es was damit zutun, dass ich nun den mittelwert berechne? 

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hat es was damit zutun, dass ich nun den
mittelwert berechne?

Wenn du als
linksseitigen Grenzwert -1 erhältst
und als rechtsseitigen Grenzwert ebenfalls
ist es anzuraten für a = -1 einzusetzen.

Du brauchst aber gar keine Mittelwerte zu bilden.
Du setzt in ( x-2 ) / ( x²-x+1 )
x = -1 ein und erhältst
( -1 - 2 ) / ( (-1)^2 - (-1 ) * 2 + 1 ) = -1
a = -1

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Es genügt,

$$a:=\lim_{x \,\to\, -1} f(x) $$ zu setzen, mehr wird nicht verlangt, insbesondere keine Betrachtung von rechts- oder linksseitigen Limiten.

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ja aber wenn ich das tuhe kommt 0 raus,,, aber nach umformen und kürzen kommt auf einmal für -1 als lösung -1 raus, was ich dann für a nehme... aber wieso auf einmal? xD 

aber egal ich weiß ja nun wie so eine aufgabe zu lösen ist... verstehen muss ich ja nicht alles xD 

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Du hast doch einen Grenzwert von einem Bruch, bei dem

Zähler UND Nenner den Grenzwert 0 haben.

Da kann man im allg. nicht sagen, was der Grenzwert des Bruches

ist. Deshalb ist das mit dem Kürzen dann immer eine gute

Idee, wenn man was kürzen kann.