Beschränktheit einer Funktion zeigen

Question

erstmal zur Aufgabe

•  ƒ : [a,b] → ℝ

•  oberer Lim x → x₀ ƒ(x) existiert für alle x₀ ∈ [a,b]

•  unterer Lim x → x₀ ƒ(x) existiert für alle x₀ ∈ [a,b]

•  zeige, dass ƒ beschränkt ist

Meine Idee:

- falls oberer Lim x → x₀ ƒ(x) = unterer Lim x → x₀ ƒ(x)  für alle x₀ ∈ [a,b] dann ist ƒ in [a,b] stetig

- Satz von Min/Max besagt, bei stetiger auf Intervall [a,b]  abgeschlossener ƒ existiert Min und Max

- Jedes Min/Max ist Infimum/Supremum (umgekehrt nicht)

- da Infimum/Supremum definiert sind ist ƒ beschränkt

Problem:

- falls meine erste Annahme nicht stimmt ist ƒ nicht stetig kann aber beschränkt sein

Answer 1

falls oberer Lim x → x₀ ƒ(x) = unterer Lim x → x₀ ƒ(x)  für alle x₀ ∈ [a,b] dann ist ƒ in [a,b] stetigstimmt nicht:   Beide Grenzwerte müssen gleich UND gleich dem Funktionswert an der Stelle sein.

also stetig muss diese Funktion nicht sein.

Comments

ja stimmt, ich hätte es so formulieren sollen:

oberer Lim x → x₀ ƒ(x) = ƒ(x0) = unterer Lim x → x₀ ƒ(x)

Aber ohne diese Annahme weiß ich nicht wie ich Beschränktheit zeigen soll