Beschränktheit und Monotonie mit Induktion zeigen

Question

Hallöle

ich habe die folgende Aufgabe bekommen:

$$\text{Wir betrachten die rekursiv definierte Funktion } f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \text{, gegeben durch } f(1) = 0 \text{ und }\\ f(n+1) = \frac{1}{2}(f(n)+1) \text{ für } n \in \mathbb{N}. \text{ Zeigen Sie mit Hilfe einer Induktion nach n, dass f}\\\text{i) nach oben durch 1 beschränkt ist.} \\\text{ii) monoton steigend ist.}$$

Ich habe leider absolut keine Idee, wie ich das mit der Induktion zeigen soll geschweige denn, wie ich hier ansetzen soll.

Vielen Dank für die Hilfe im Voraus!

Comments

Du könntest doch mal für (i) die Induktionsvoraussetzung formulieren - mathematisch, formelmäßig - und die Induktionsaussage.

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Habe ich gerade gemacht & genau in dem Moment kam die Antwort von mathef, die meine Rechnung bestätigt hat :)

Vielen Dank für den Hinweis!

Answer 1

i)   Für n=1 ist ja angegeben f(1)=0≤1  ✓

Angenommen es gilt für ein n   f(n)≤1

==> \( f(n+1)  = \frac{1}{2}(f(n)+1) \le \frac{1}{2}(1+1) = 1 \).

ii)   und f(1)≤f(2)  ist auch klar wegen f(2)=0,5(0+1) = 0,75

und 0≤0,75 ist ja wohl klar.

Wenn f(n)≤f(n+1) gilt, dann ist f(n+1)≤f(n+2) zu zeigen.

Besser anders herum:

\(   f(n+2) = \frac{1}{2}(f(n+1)+1) \)  wegen der Beschränktheit folgt:

\(  f(n+2) \ge \frac{1}{2}(f(n+1)+f(n+1)) = f(n+1) \)  ✓

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Super, vielen Dank!