Monotonie von (a_{n}) mit a_{0}: = 1, a_{n+1}: = √2 + a_{n} mit Induktion zeigen

Question

Aufgabe

gegeben:

a₀ = 1,

 a_n+1 = √2 + a_n

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass (a_n)n∈N eine monotone und beschraenkte
Folge ist

Problem/Ansatz

Bin eigentlich total verwirrt bei der Aufgabe aber ich habs trotzdem mal versucht...

Meine Vermutung ist das die Folge monoton wachsend ist also gilt a_n+1>0.

also meine Ansätze wären:

Das gegebene in eine ungleichungsform zu bringen

√2 + a_n >  1

I.A sei a₀ = 1

= √2 + 1 > 1

= √3 > 1

I.V.

Es gilt a_{n + 1} > 1 für alle a_n = n + 1

I.B.

Zu zeigen ist √2 + (n+1) > 1

I.S.

√2+(n+1) > 1

= √2+n+1 > 1

= n > -√2

Answer 1

Wenn keine Klammer fehlen, Dann ist für "a₀ = 1,  a_n+1 = √2 + a_n" bereits das Glied a₀ das kleinste. Danach heißen die Glieder √2+1, 2√2+1, 3√2+1, usw.

Wenn es aber heißen sollte: a_n+1 = √(2 + a_n), dann ist 2 der Grenzwert.

Comments

gegeben:

a₀ = 1

a_n+1 = √2 + a_n

hatte da ein Komma gesetzt.

Vielleicht ist es so besser zu erkennen

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Siehe meine bearbeitete Antwort.

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Also ist meine rechnung zur Induktion soweit richtig?

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Zu zeigen ist: √(2+a_n)≤√(2+√(2+a_n)). Da alle Folgenglieder positiv sind, bleibt zu zeigen:  a_n²≤2+a_n. Das gilt für a_n≤2.

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Hmm alles klar ich gucke mir noch ein paar Beispiele an und versuche

anders dran ranzugehen danke :)

Answer 2

an+1 = √2 + an

ohne Klammern ist nicht beschränkt.

Meinst du

a_(n+1) = √(2 + a_(n)) ? 

Vgl. Antwort von Roland

Bei deinem Antwortversuch musst du Klammern ergänzen. So, wie der dasteht, macht das keinen Sinn.

IB: Zu zeigen ist √2 + (n+1) > 1

Da müsste a auch noch vorkommen. Oder?

Comments

Also auf dem Aufgabenblatt ist keine Klammer

Ja genau √2 + (a_n+1) > 1 sry

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Auf dem Aufgabenblatt ist aber auch nicht bloss √  zu sehen. Die Länge des Balkens ist mit Klammern anzugeben, sonst kennt man den Radikanden nicht.

Man liest

an+1 = √2 + an

als an+1 = √(2) + an

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Grund: Es gilt Potenzieren vor Punktrechnung vor Strichrechnung.

Ausserdem: √(2) = 2^(1/2) ist auch eine Art Potenzieren.

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Versuche du mal deine Frage noch zu bearbeiten, damit man verstehen kann, was du da rechnest.