Folge auf Monotonie und Beschränktheit untersuchen. a_(n):= n2 + 2

Question

Sind meine Ergebnis bzgl. der Monotonie korrekt, wie kann ich das Ganze kürzer formulieren?

Was muss sich zeigen um eine Beschränktheit nachzuweisen?

Ich glaube es gibt ein Infinum bei der 2, wie weise ich meine Vermutung nach?

Comments

Die Folgen a_(n) ist nach oben nicht beschränkt. Daher kannst du nicht von einer beschränkten Folge sprechen.

Wie habt ihr Infimum genau definiert?

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lerne privat und nach meiner Recherche ist damit "die gößte untere Schranke" gemeint

Answer 1

Kürzer geht es wohl nicht.

Folge ist nicht beschränkt nach oben; denn gäbe es eine obere Schranke S

so müsste  n² + 2 ≤ S für alle n aus N gelten

also auch n²  ≤ S - 2

also n   ≤ wurzel(S - 2)   .

Da aber die Folge der nat. Zahlen nicht beschränkt ist

( archimedisches Axiom) :    Widerspruch!

Infimum = 2  ( oder genügt nach unten beschränkt ?

Musst nur zeigen:  Für alle n aus N gilt n² + 2 ≥ 2

n²  ≥ 0     .

Answer 2

Damit die Folge beschränkt ist müsste es eine Schanke S geben für die gilt:

an <= S für alle n

n² + 2 <= S

n² <= S - 2

n <= √(S - 2)

Für n > √(S - 2) ist das aber nicht mehr erfüllt und damit gibt es keine obere Schranke.

Wenn die Folge streng monoton steigend ist müsste a0 = 2 der kleinste Wert sein.

Soweit also alles klar ?